Gegeben ist die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge . Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke. Geben Sie die Art der Definitionslücke an. [5 BE]
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Teil 1
- Löse . Betrachte dazu die Diskriminante.
Teil 2
- Berechne und .
Teil 3
- Welche Ordnung hat die Polstelle? Gibt es einen Vorzeichenwechsel?
Zeige, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt
Gegeben:
Löse . Betrachte dazu die Diskriminante.
Die Funktion besitzt keine Nullstellen.
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke
Die Definitionslücke ist .
Gib die Art der Definitionslücke an
ist eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel.
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von .
[ Mögliches Teilergebnis: ] [4 BE]
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- Welche Asymptote gibt es bei ?
- Da der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad ist, gibt es eine schräge Asymptote. Führe eine Polynomdivision durch.
Ermittle jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von
Es gibt eine senkrechte Asymptote bei .
Da der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad ist, gibt es eine schräge Asymptote.
Führe eine Polynomdivision durch:
Die schräge Asymptote hat die Gleichung .
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie jeweils die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von .
[Mögliches Teilergebnis: ] [8 BE]
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- Bilde mithilfe der Quotientenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle und gib die Monotonieintervalle an.
- Gib die Art und die Koordinaten der Extrempunkte von an.
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Quotientenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Erstelle eine Monotonietabelle:
Pol |
ist streng monoton fallend in und in .
ist streng monoton steigend in und in .
Art und Koordinaten aller Extrempunkte von
Zeichnen Sie den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für - in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie die Wertemenge der Funktion an.
Maßstab auf beiden Achsen: [6 BE]
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Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle im geforderten Bereich und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Teil 2
- Gib die Wertemenge an.
Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für - in ein kartesisches Koordinatensystem.
/ |
Gib die Wertemenge der Funktion an
oder
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
1) Zeigen Sie, dass in eine Stammfunktion von ist. [3 BE]
2) Der Graph , die Gerade mit der Gleichung und die beiden Koordinatenachsen schließen im zweiten Quadranten ein endliches Flächenstück ein.
Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück im Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1 d) und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet. [3 BE]
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Teil 1
- Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss gelten .
Teil 2
- Markiere das Flächenstück im Koordinatensystem von Aufgabe d).
Teil 3
- Berechne .
1) Zeigen Sie, dass in eine Stammfunktion von ist
Gegeben:
Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss gelten .
Berechne :
2) Kennzeichne dieses Flächenstück im Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1 d)
Berechne die Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet
Die Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet, beträgt .