Für den Hintergrund einer Modelleisenbahn soll mithilfe eines 3D-Druckers eine Berglandschaft gedruckt werden. Der Graph der Funktion mit der Gleichung , und dem Definitionsbereich beschreibt die obere Kontur der Berglandschaft. Die Variable gibt den Abstand vom linken Rand der Berglandschaft in cm und der Funktionswert die Höhe der Konturlinie in cm über dem Boden an.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.
Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton abnehmend. Bestimmen Sie den Wert des Parameters , wenn die Berglandschaft an ihrem höchsten Punkt cm hoch sein soll. (2 BE)
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- Berechne .
Bestimme den Wert des Parameters , wenn die Berglandschaft an ihrem höchsten Punkt cm hoch sein soll
Bekannt ist: Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton abnehmend. Der höchste Punkt hat demnach die Koordinaten .
Berechne :
Der Wert des Parameters , wenn die Berglandschaft an ihrem höchsten Punkt cm hoch sein soll, ist .
Für die folgenden Teilaufgaben gilt:
An der Berglandschaft sollen Bäumchen befestigt werden. Damit diese aufrecht stehen, müssen sie an einer Stelle mit waagrechter Tangente angebracht werden. Berechnen Sie dazu die Koordinaten des Punktes auf der Konturlinie, der diese Bedingung erfüllt. (5 BE)
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- Berechne . Beachte die Produkt- und Kettenregel.
- Waagrechte Tangente .
- Berechne
Berechne dazu die Koordinaten des Punktes auf der Konturlinie, der diese Bedingung erfüllt
Gegeben:
Berechne . Beachte die Produkt- und Kettenregel:
Waagrechte Tangente .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Berechne :
Die Koordinaten des Punktes auf der Konturlinie, der diese Bedingung erfüllt, lauten .
Zeigen Sie, dass die Funktion mit mit eine Stammfunktion von ist.
Bestimmen Sie den Wert des Integrals und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.
Teilergebnis: (5 BE)
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Zeige, dass die Funktion mit mit eine Stammfunktion von ist
Zeige, dass ist:
Berechne . Beachte die Produkt- und Kettenregel:
Bestimme den Wert des Integrals und interpretiere Dein Ergebnis im Sachzusammenhang
Das Volumen der Berglandschaft beträgt rund .
Zur Herstellung der Berglandschaft wird Kunstharz zu einem Preis von € für benötigt. Ermitteln Sie den Materialpreis für eine Berglandschaft gleicher Form, die nicht sondern ein Meter lang ist. Verluste an Kunstharz durch den Herstellungsprozess sollen dabei nicht berücksichtigt werden. (2 BE)
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- Das Volumen aus Aufgabe c) muss also mit multipliziert werden.
Ermittle den Materialpreis für eine Berglandschaft gleicher Form, die nicht , sondern ein Meter lang ist
Das Volumen aus Aufgabe c) muss also mit multipliziert werden.
Den Materialpreis für eine Berglandschaft gleicher Form, die nicht , sondern ein Meter lang ist, beträgt rund .
Nun wird zusätzlich die Funktion mit in dem maximalen Definitionsbereich betrachtet. Der Teil des Graphen der Funktion , der über der x-Achse liegt, beschreibt die Begrenzungslinie eines Tunnels (siehe Aufgabenstellung), der nach der Herstellung durch den 3D-Drucker in die Berglandschaft gefräst werden soll.
1) Für die Kalibrierung der Fräse werden die Schnittpunkte von mit der x-Achse benötigt. Ermitteln Sie die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte. (3 BE)
2) Der Punkt (siehe Aufgabenstellung) ist der höchste Punkt des Tunnels (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes . (4 BE)
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Teil 1
- Gesucht ist .
Teil 2
- Berechne . Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
- Berechne den y-Wert.
1 Ermittle die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte
Gegeben ist .
Gesucht ist
Umformung: -2
Umformung: e^{()}
Umformung: +x^2-4x
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Runde Deine Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.
Du hast die Lösungen und erhalten.
Die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte sind und .
2 Berechne die Koordinaten des Punktes
Berechne .
Beachte beim Ableiten die Kettenregel.
(weiterer Nachweis nicht erforderlich).
Berechne den y-Wert:
Die Koordinaten des Punktes sind .