Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Anzahl der verkauften Bücher eines Bandes wieder. Immer am Ende einer vollen Woche werden die Verkaufszahlen beim Verlag dokumentiert. Dabei bezeichnet die Anzahl der Wochen ab Verkaufsstart () und die Anzahl der verkauften Bücher pro Woche in Tausend. Aufgrund eines einwöchigen Vorbestellungszeitraums werden beim Verkaufsstart bereits Bücher und nach einer Woche weitere verkauft.
Stellen Sie die Zuordnung in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. Verbinden Sie die Punkte zu einer glatten Kurve und formulieren Sie eine Hypothese, wie sich die Verkaufszahlen nach der 10. Woche verhalten werden. (4 BE)
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- Übertrage die gegebenen Daten in ein Koordinatensystem und verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve.
- Wie wird es mit den Verkaufszahlen nach der 10. Woche weitergehen?
Stelle die Zuordnung in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. Verbinde die Punkte zu einer glatten Kurve
Formuliere eine Hypothese, wie sich die Verkaufszahlen nach der 10. Woche verhalten werden
Die Verkaufszahlen werden nach der 10. Woche weiter sinken.
Ausgehend von den Tabellenwerten wird für die Anzahl der wöchentlich verkauften Bücher in Tausend ein mathematisches Modell mit folgender Zuordnungsvorschrift − mit und entwickelt. Mit der Funktion sollen Prognosen angestellt werden, die über die 10. Woche hinausgehen
1) Das Modell wird als aussagekräftig und realitätsnah eingestuft, wenn die tatsächlichen Werte von den berechneten um weniger als % abweichen. Zur Überprüfung werden in der folgenden Tabelle die beiden Hilfsfunktionen und herangezogen mit bzw. .
Ergänzen Sie die fehlenden Werte in obenstehender Tabelle und beurteilen Sie, ob die Funktion als realitätsnah bezeichnet werden kann. (3 BE)
2) Ermitteln Sie, in der wievielten Woche nach dem Modell die Verkaufszahl Bücher pro Woche beträgt. (4 BE)
3) Berechnen Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen der Funktion . Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.
Mögliches Teilergebnis: ] (6 BE)
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Zu 1:
- Berechne die Werte .
- Vergleiche o(t) mit n(t).
Zu 2:
- Berechne .
Zu 3:
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne und löse die Gleichung .
- Die Art des Extremums findest Du mithilfe einer Monotonietabelle.
- Berechne und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
1 Ergänzen Sie die fehlenden Werte in obenstehender Tabelle und beurteilen Sie, ob die Funktion als realitätsnah bezeichnet werden kann
Berechne die Werte .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für alle t-Werte gilt: und ist realitätsnah.
2 Ermittle, in der wievielten Woche nach dem Modell die Verkaufszahl Bücher pro Woche beträgt
Berechne :
Umformung: \cdot(t^2-12t+111)
Umformung: :4
Umformung: -750
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Es sind und .
Die beiden Lösungen sind also und .
In der Woche beträgt die Verkaufszahl Bücher.
3 Berechne die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen der Funktion
Es ist .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne :
Löse die Gleichung .
Erstelle eine Monotonietabelle:
Berechne
hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten .
Interpretiere Deine Ergebnisse im Sachzusammenhang
In der 6. Woche werden mit Büchern die meisten Bücher verkauft.