Die Abbildung zeigt modellhaft den Querschnitt eines Staudammes, der Meter lang ist. Die Querschnittsfläche des Staudamms hat über die gesamte Länge hinweg die gleiche Form. Die krummlinige Begrenzungslinie der Querschnittsfläche kann durch den Graphen der Funktion mit und in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität. Bei den Rechnungen kann auf die Mitführung der Einheiten verzichtet werden.
Der Punkt ist der höchste Punkt des Staudammes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes . Weisen Sie auch nach, dass ein relativer Hochpunkt vorliegt. (5 BE)
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Teil 1
- Gegeben ist .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist . Bilde mithilfe der Produktregel die 1. Ableitung. Löse die Gleichung .
- Berechne und gib die Koordinaten des Punktes an.
Teil 2
- Zeige, dass bei ein Vorzeichenwechsel von von nach vorliegt.
Berechne die Koordinaten des Punktes
Gegeben ist .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produktregel die 1. Ableitung:
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Weise auch nach, dass ein relativer Hochpunkt vorliegt
Es ist .
Zeige, dass es bei x=1 einen Vorzeichenwechsel von h'(x) gibt:
Bei liegt ein relativer Hochpunkt vor.
Ein Kubikmeter des zur Aufschüttung des Staudamms verwendeten Materials hat die Masse Tonnen. Aufgrund der Verdichtung des Materials beim Bau des Staudamms ist das Volumen des tatsächlich benötigten Materials um höher, als das theoretisch berechnete. Stellen Sie einen Ansatz auf, mit dem man die Masse des aufgeschütteten Materials in Tonnen berechnen kann. (4 BE)
Hinweis: Die Berechnung soll nicht durchgeführt werden
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- Berechne die Querschnittsfläche des Staudamms:
- Der Staudamm ist Meter lang in .
- Ein Kubikmeter des zur Aufschüttung des Staudamms verwendeten Materials hat die Masse Tonnen.
- Das Volumen des tatsächlich benötigten Materials um höher, d.h. in .
- Setze alle Werte in ein.
Stelle einen Ansatz auf, mit dem man die Masse des aufgeschütteten Materials in Tonnen berechnen kann
Berechne zunächst die Querschnittsfläche des Staudamms:
Der Staudamm ist Meter lang.
in
Ein Kubikmeter des zur Aufschüttung des Staudamms verwendeten Materials hat die Masse Tonnen.
Das Volumen des tatsächlich benötigten Materials um höher, d.h.
in .
(Masse in Tonnen).