Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit der Definitionsmenge besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle .
Skizzieren Sie mithilfe der oben genannten Eigenschaften von einen möglichen Graphen dieser Funktion und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte für und an. (3 BE)
Lösung anzeigen
- Du weißt keine y-Koordinaten
- Beachte die Punktsymmetrie: Was lernt man daraus, dass bei ein Tiefpunkt ist? Was haben alle Graphen einer punktsymmetrischen, ganzrationalen Funktion gemeinsam?
- Ermittle aus deiner Skizze den Globalverlauf.
Graph skizzieren
- Da der Graph der ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verläuft er durch den Ursprung.
- Markiere den Tiefpunkt bei . Aufgrund der Symmetrie ist außerdem bei ein Hochpunkt.
- Da der Grad der Funktion 3 ist, gibt es maximal zwei Extremstellen. Diese sind bei und . Es gibt also keine weiteren als die oben beschriebenen.
Globalverlauf
Wenn du den Graph korrekt skizziert hast, kannst du den Globalverlauf jetzt direkt ablesen. Verwende zum Beispiel die Limes-Schreibweise:
und
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen der ersten Ableitungsfunktion mit Worten. Geben Sie dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion , die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen an. (4 BE)
Lösung anzeigen
Vergiss keinen gefragten Aspekt!
- Monotonie und Extrema:Hat eine Extremstelle, so hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.Fällt in einem Intervall, so verläuft in diesem Intervall unterhalb der x-Achse (gegenteilig für steigend)
- Symmetrie: Ist achsensymmetrisch, so ist punktsymmetrisch (und umgekehrt)
- Der Extrempunkt von liegt bei der Wendestelle von . Außerdem liegt er aufgrund der Symmetrie mittig zwischen den Extremstellen.
Du musst deine Angaben nicht erklären
- Der Graph hat bei und einfache Nullstellen (da dort Extremstellen hat).
- Links von und rechts von verläuft er unterhalb der x-Achse (da dort streng monoton fällt), sonst darüber.
- Der Graph von ist achsensymmetrisch zur y-Achse (da punktsymmetrisch zum Ursprung ist)
- Der Extrempunkt von ist ein Hochpunkt. Er liegt auf der y-Achse (aufgrund der Symmetrie von bzw. weil eine Parabel ist, liegt er mittig zwischen den Nullstellen)
Kurz gesagt: Der Graph der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und und dem Scheitelpunkt auf der y-Achse. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse.