Am Pausenverkauf einer großen Mädchenschule kaufen an einem Tag erfahrungsgemäß aller Schülerinnen eine Breze. Es werden Schülerinnen an einem bestimmten Tag zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße gibt an, wie viele von diesen am betrachteten Tag eine Breze kaufen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
: „Nur die letzten beiden Schülerinnen kaufen eine Breze.“
: „Genau zehn der Schülerinnen kaufen keine Breze.“
(3 BE)
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Es handelt sich grundsätzlich um ein Bernoulli-Experiment.
Beachte bei , dass die Reihenfolge wichtig ist .
Laut Aufgabenstellung geht es um Schülerinnen und .
Wahrscheinlichkeit von
Da es genau die letzten beiden Schülerinnen sind, die sich keine Breze kaufen, gibt es nur genau ein mögliches Ergebnis:
Wahrscheinlichkeit von
Es sollen genau Schülerinnen keine Breze kaufen, also auch genau , die eine kaufen.
Dieses Mal ist die Reihenfolge aber egal. Verwende deshalb die Bernoulli-Formel (oder das Tafelwerk):
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang. (2 BE)
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- Verwende die Formel für den Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsgrößen
- Interpretiere den Wert. Denke dabei daran, was typische Signalwörter für den Erwartungswert sind.
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich schnell berechnen durch:
Interpretation
Ein Erwartungswert beschreibt stets den durchschnittlich zu erwartenden Wert der Zufallsgröße: Im Durchschnitt kaufen sich täglich Schülerinnen eine Breze.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
(4 BE)
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- Bestimme die Varianz und die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße
- Bilde die Umgebung, indem du den Erwartungswert mit der Standardabweichung verrechnest.
- Addiere alle Wahrscheinlichkeiten von Zufallswerten, die in dieser Umgebung liegen.
Varianz und Standardabweichung
Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, verwendest du für die Varianz die Formel:
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:
-Umgebung bestimmen
Der Zufallswert soll innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. Addiere und subtrahiere also von :
Zufallswert in Umgebung
- Die Zufallsgröße soll größer als und kleiner als sein. Da nur ganzzahlig sein kann, ist
Du suchst also die Wahrscheinlichkeit von . Das ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die du zum Beispiel im Tafelwerk findest:
Da bereits mit einberechnet werden soll, muss die Wahrscheinlichkeit von bis wieder abgezogen werden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:
: „Mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet kaufen eine Breze.“
(3 BE)
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- Bestimme zunächst, wie viele Schülerinnen "mehr als doppelt so viele wie erwartet" sind
- Berechne mithilfe von Gegenereignis und kumulierten Wahrscheinlichkeiten die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Der Erwartungswert ist , also ist zu erwarten, dass sechs Schülerinnen sich eine Breze kaufen.
Dass mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet eine Breze kaufen, bedeutet also, dass mehr als Schülerinnen eine Breze kaufen.
Du kannst im Tafelwerk nur "höchstens k Treffer" nachschauen
Verwende das Gegenereignis "weniger als "
Weniger als bedeutet höchstens .
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du zum Beispiel im Tafelwerk nachschlagen