Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic" () und "Highspeed" () wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen ( ) oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen . Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren (), einen Techniker hiermit beauftragen ( ) oder sogar einen Komplettservice () wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.
Erfahrungsgemäß nehmen der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed"-Tarif und Router möchten den Komplettservice.
Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
[ Teilergebnis: ]
(5 BE)
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- Entnehme dem Text und den Beispielergebnissen aus dieser und der nächsten Teilaufgabe die Struktur des Baumes
- Lese aus dem Text die gegebenen Wahrscheinlichkeiten heraus
- Verwende die Eigenschaften eines Baumdiagramms und die Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse zu bestimmen
Baum anlegen
Lies den Text aufmerksam durch und schaue dir die Beispielergebnisse in dieser und der nächsten Teilaufgabe an, um herauszufinden, welche Kombinationen es gibt:
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- Am Teilergebnis siehst du, dass die Reihenfolge im Baum wie im Text ist: Auf erster Stufe Highspeed/Basic, auf zweiter Stufe Router/kein Router und auf dritter Stufe die Installationsmethoden ()
- Nur, wenn der Router bestellt wird, gibt es die drei Installationsmethoden .
- Es gibt also auch kürzere Zweige (wie du in der nächsten Teilaufgabe auch sehen kannst).
- Aus der Angabe weißt du, dass du am Ende acht Ergebnisse (Pfade) brauchst.
Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ergänzen
Ergänzt du alle Wahrscheinlichkeiten, die im Text gegeben sind, sieht das Baumdiagramm so aus:
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- "Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen": Die 0,8 kann sowohl ausgehend von Tarif als auch von Tarif angetragen werden.
- "Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren": Gleiches Spiel ausgehend von , also wird beim Pfad zu bei beiden angetragen.
- "Zu gleichen Teilen": Die restlichen werden gleichmäßig aufgeteilt, deshalb haben beide Pfade, und , jeweils .
Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten kannst du sofort ausrechnen: Alle Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ergeben in Summe (Im Baum blau markiert).
Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse (grün markiert) berechnest du dann mithilfe der 1. Pfadregel:
Beispielrechnung:
Gegeben sind folgende Ereignisse:
: „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“
Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend .
(3 BE)
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Für die Mengenschreibweise: Wähle aus dem Baum alle Elementarereignisse aus, die der Beschreibung von genügen und gib sie in der Form wie an.
Für die Formulierung von Bilde zuerst die Schnittmenge in Mengenschreibweise und überlege anschließend, wie du sie beschreiben kannst.
Für die Wahrscheinlichkeit: Verwende die 2. Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der gesuchten Elementarereignisse aus dem letzten Schritt zu verrechnen.
in Mengenschreibweise
Liste alle Ereignisse auf, die der Beschreibung genügen. "Kein Komplettservice" übersetzt sich dabei zu "entweder Selbstinstallation oder Techniker":
als Mengenschreibweise und in Worten
Die Schnittmenge umfasst alle Elemente, die sowohl in als auch in enthalten sind:
Das sind genau die beiden Elementarereignisse, bei denen der Kunde keinen Router bestellt.
Wahrscheinlichkeit von
Addiere die beiden Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm:
Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router ( ) oder anderweitig organisierter Router). Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei aller Kunden ohne Unterbrechungen () funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.
Es gilt weiterhin .
Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten und , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten und miteinander vergleichen.
(5 BE)
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- Lege wie empfohlen eine Vierfeldertafel mit den Merkmalen Router der Firma () und Unterbrechung der Verbindung () an. Du findest drei Wahrscheinlichkeiten im Text.
- Suche die richtigen Werte aus der Vierfeldertafel, um die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel zu berechnen.
- Überlege zunächst, wofür die Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext stehen, und interpretiere dann, was es bedeutet, wenn der eine Wert größer als der andere ist.
Vierfeldertafel
Lege eine Vierfeldertafel an. Die Werte, die du in der Angabe finden kannst, sind blau markiert:
0,3 | 0,5 | 0,8 | |
0,1 | 0,1 | 0,2 | |
0,4 | 0,6 | 1 |
Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel
Du kannst die nötigen Zahlen direkt aus der Vierfeldertafel entnehmen:
und
Interpretation im Sachkontext
beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen Router der Firma hat.
Analog beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen eigenen Router nutzt.
Aufgrund der vorhandenen Daten kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für Störungen bei Verwendung eines Routers des Internetanbieters geringer ist.