Während das Bundesamt für Naturschutz seit Jahren die Ausbreitung von Wölfen in Deutschland fördert, fordern u.a. Weidetierhalter und Jäger zunehmend eine Aufhebung des Abschussverbots von Wölfen. Um über die eventuelle Aufhebung dieses Verbots zu entscheiden, soll die Entwicklung der Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland modelliert werden. Die Entwicklung seit dem Jahr lässt sich näherungsweise durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit und darstellen. Der Funktionswert von gibt die Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland zum Zeitpunkt an. Dabei steht für die seit Ende des Jahres vergangene Zeit in Jahren. Ende des Jahres wurden Wolfsrudel in Deutschland gezählt, Ende lag die Zahl der Wolfsrudel bereits bei .
Bestimmen Sie die Werte der Parameter und der Funktion . Runden Sie ganzzahlig und auf drei Nachkommastellen. (4 BE)
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Stelle ein Gleichungssystem auf. Da du zwei Parameter ( und c) hast, brauchst du zwei Gleichungen.
Aufstellen der Gleichungen
Du kannst aus der Aufgabenstellung durch Einsetzen in zwei Gleichungen ablesen:
I)
II)
Multipliziert man die erste Gleichung mit , erhält man folgende Gleichung:
I)
Gleichungssystem lösen
Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:
III)
Umformung: :N_0
Umformung: :e^{c\cdot5}
Umformung: \ln
Umformung: :4
berechnen und auf drei Nachkommastellen runden
Jetzt kann man in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und somit bestimmen:
einsetzen.
Umformung: :e^{1,505}
Berechnen und auf ganze Zahl runden.
Im Folgenden gilt
Das Bundesamt für Naturschutz geht davon aus, dass Deutschland maximal Lebensraum für Rudel bieten kann. Berechnen Sie, in welchem Jahr die Anzahl der Wolfsrudel laut dem Modell voraussichtlich diesen Wert erreicht. (3 BE)
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Du suchst einen Zeitpunkt und hast eine Anzahl von Wolfsrudeln gegeben. Setze den Term mit 440 gleich und löse nach t auf.
Vergiss nicht, am Ende die Jahreszahl anzugeben.
Gleichsetzen mit 440
Setze den Term mit der gewünschten Anzahl der Wolfsrudel gleich.
Umformung: :4
Verwende den natürlichen Logaritmus
Umformung: :0,301
Jahreszahl ermitteln
Da für die Zahl der vergangenen Jahre seit steht, musst du insgesamt Jahre weiterzählen:
Im Jahr wird die Zahl der Rudel erstmals übersteigen.
Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion in der Form an und folgern Sie daraus die prozentuale Zunahme der Anzahl der Wolfsrudel pro Jahr. Runden Sie auf drei Nachkommastellen. (2 BE)
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Wende die Potenzgesetze für die Basis an, um die gewünschte Form zu bekommen.
Die prozentuale Zunahme pro Jahr wird durch die Nachkommastellen beschrieben.
Anwendung der Potenzgesetze
Zuwachs pro Jahr
Die Anzahl der Wolfsrudel wächst somit jährlich um .