Aufgabe B3
Die Parabel p verläuft durch die Punkte und . Sie hat eine Gleichung
der Form:
Die Gerade g hat die Gleichung:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für und , dass die Parabel die Gleichung
hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit
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- Berechne die Koeffizienten der Parabel.Setze dazu die Punkte aus der Aufgabenstellung in den Funktionsterm ein.Das LGS, das sich dadurch ergibt, musst du lösen. Als Ergebnis erhältst du die Parameter.
- Zeichne die Parabel und die Gerade in das Koordinatensystem ein.
geg.: Punkte und auf der Parabel ;
Normalform von :
ges.: Koeffizienten und der Parabel ; Graph von und
Berechnung der Parabelgleichung p aus zwei Punkten und dem Koeffizienten a
1. Allgemeine Parabelform lautet:
Öffnungsfaktor
2. Punkte und in Parabelgleichung einsetzen und Gleichungssystem aufstellen:
3. lineares Gleichungssystem lösen (z.B. mit Einsetzungs-/ Addditions- / Gleichsetzung-Verfahren).
Hier Verwendung des Einsetzungsverfahrens:
a) Gleichung nach auflösen:
b) Wert für in Gleichung einsetzen und nach auflösen:
c) Wert für in einsetzen:
Parabelgleichung p:
Graph von p und g im Bereich zeichnen mithilfe "Geogebra":
Punkte auf der Geraden und Punkte
auf der Parabel haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken Es gilt:
Zeichnen Sie die Dreiecke für und für in das Koordinaten-system zu ein. (2 P)
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- Berechne die Eckpunkte des Dreiecks für
- Berechne die Eckpunkte des Dreiecks für
- Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu Dreiecken.
geg.: und auf mit derselben Abszisse Punkte sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken
[im gleichseitigen gilt: , steht auf Seite und halbiert diese.]
Es gilt: d.h. die Punkte liegen über den Punkten
ges.: Koordinaten der Dreieckseckpunkte für die Dreiecke für und für , Zeichnung der Dreiecke im KOSY
Eckpunkte für für berechnen:
auf
auf
Eckpunkt des mit Strecke
und
Eckpunkte für für berechnen:
auf
auf
Eckpunkt des mit der Strecke
Einzeichnen der gleichseitigen Dreiecke
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von es Dreiecke gibt. (3 P)
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- Setze gleich und forme die Gleichung zu einer quadratischen Gleichung in der Normalform um.
- Löse die quadratische Gleichung mit der pq-Formel oder abc-Formel.
geg.: auf und auf p mit derselben Abszisse x
ges.: Mögliche Werte für die Dreiecke
Vorgehen unter d er Voraussetzung, dass Punkte und auf der Parabel liegen
setzen, Äquivalenzumformung zur quadratischen Gleichung, Lösung mit abc-Formel:
| zusammenfassen
|abc-Formel anwenden
Diskriminante berechnen
Lösungen
Lösungen berechnen
Dreiecke gibt es für
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit
von gilt: . (1 P)
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Bestimme den Vektor und seine Länge.
geg.: und
ges.:
Bestimmung des Vektors aus den Punkten und
Berechnung der Vektorlänge mit dem Satz des Pythagoras
| Wurzel und Quadrat heben sich auf
mit
Ermitteln Sie die maximale Streckenlänge sowie den zugehörigen Wert für .
Berechnen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt der Dreiecke . (3 P)
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- Bestimmung den maximalen Wert und damit das Maximum der Länge der Strecke von .Untersuche dazu den quadratischen Term aus (e). Als Parabel aufgefasst, kann der Scheitel als Maximum bestimmt werden.
- Berechne das Maximum des Flächeninhalts der Dreiecke .
geg.: Gleichung für Vektorlänge (aus Aufgabe B 4.d)
ges.: max. Wert, max. Vektorlänge, maximale Fläche der Dreiecke
Maximaler x-Wert und max. Streckenlänge ;
Die Länge von AC wird maximal beim Scheitelpunkt von p,
d.h. bei
einsetzen in , mit
Maximaler Flächeninhalt der gleichseitigen Dreiecke :
Für allgemeines Dreieck gilt: mit
Werte für und einsetzen und Fläche berechnen:
Die Winkel zwischen der Geraden und den Strecken haben jeweils das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß für das gilt: (2,5 P)
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Berechne den Winkel zwischen und aus der Summe von Einzelwinkeln .
geg.: Gerade und Strecke
ges.: Winkel zwischen und
Die Steigung der Geraden
ist
Der Winkel im gleichseitigen Dreieck:
Winkel (siehe Zeichnung):
