An einer Hauswand soll ein rechteckiger Gemüsegarten angelegt und an den drei offenen Seiten eingezäunt werden (vgl. Abbildung). Dabei bezeichnen und die Seitenlängen des Gemüsegartens in Metern. Die Gesamtlänge des Zauns soll betragen.
Für einen bestimmten Wert von ist der so geplante Gemüsegarten quadratisch. Berechnen Sie für diesen Fall den Flächeninhalt des Gemüsegartens.
Lösung anzeigen
Ein quadratischer Garten hat gleich lange Seiten.
Damit der Garten quadratisch ist, müssen die Seiten und gleich lang sein.
Laut Aufgabenstellung gilt:
Mit ist also
Mit hat der Gemüsegarten gleich lange Seiten und ist somit quadratisch.
Die Fläche beträgt dann .
Es wird untersucht, ob durch eine andere Wahl von bei gleichbleibender Zaunlänge ein größerer Flächeninhalt erreicht werden kann. Hierzu wird die Funktion mit betrachtet, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist.
Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Gemüsegartens in durch den Term beschrieben wird.
Lösung anzeigen
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
Geben Sie die beiden Nullstellen von an und bestimmen Sie so, dass der Flächeninhalt des Gemüsegartens maximal wird.
Lösung anzeigen
1. Nullstellen:
Für eine Nullstelle gilt:
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
1. Faktor:
2. Faktor:
Die Nullstellen der Funktion sind und .
2. Scheitelpunkt:
Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstelle und . Der Scheitelpunkt der Funktion liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.
Für ist der Flächeninhalt des Gemüsegartens maximal.