Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Prismas , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck mit der Basis ist. Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke und der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links von liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:
Zeichnen Sie sodann die Strecke in das Schrägbild ein und berechnen Sie deren Länge sowie das Maß des Winkels .
Ergebnis:
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Berechne die Streckemithilfe des Satz des Pythagoras.
Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck :
Einsetzten der Zahlenwerte:
Berechnen des Maßes des Winkels :
Ebenen, die zur Grundfläche parallel sind, schneiden in Punkten , in Punkten , in Punkten und in Punkten .
Es gilt: mit sowie .
Der Punkt ist die Spitze von Pyramiden mit Dreiecken als Grundfläche.
Zeichnen Sie die Strecke , den Punkt sowie die Pyramide für in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
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Einzeichnen der Pyramide in das Schrägbild zur Teilaufgabe .
Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von wie folgt darstellen lässt: .
Teilergebnis:
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Berechne zuerst
Das Volumen der Pyramide berechnet sich wie folgt:
Berechnen der Strecke mit dem Tangens.
Unter den Pyramiden hat die Pyramide das maximale Volumen.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide kleiner ist als das Volumen des Prismas .
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Ermittle den Funktionswert von
Da es sich bei dem Funktionsgraphen von um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels , dem maximalen Volumen der Pyramide .
Berechnen des Funktionswertes mit der Formel:
Zur Erinnerung, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
Das maximale Volumen der Pyramide beträgt:
Volumen Prisma:
Berechnen des prozentualen Unterschieds von zu :
Das Volumen der Pyramide ist um kleiner als das Volumen des Prismas.
Die Pyramiden und haben jeweils ein Volumen von .
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für .
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Setze und löse die quadratische Gleichung.
Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.
Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
.
Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Zeichnen Sie die Strecken in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.
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Einzeichnen der Strecke
in Abhängigkeit von
Lösungsmöglichkeit:
Berechnen der Strecke
Da es sich bei dem Funktionsgraphen von um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels dem Quadrat der minimalen
Länge der Strecke
Berechnen des Funktionswertes mit der Formel:
Lösungsmöglichkeit:
Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, der Winkel ist bekannt,
siehe Lösung zur Aufgabe ist dann die Ankathete und ist die Hypotenuse
dieses Dreiecks.
Der Unterschied der Ergebnisse kommt daher, dass der in der Lösungsmöglichkeit
verwendet Wert aufgerundet ist.