Die Skizze zeigt den Grundriss eines Hafenbeckens. Ein Schiff befindet sich an der Position .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf ganze Meter.
Berechnen Sie die Länge der Strecke . Ergebnis:
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Teilaufgabe c
Diese Aufgabe löst du am besten durch Berechnung des Winkels und danach durch Anwendung der Verhältnisse von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.
Den Winkel erhältst du durch .
Dafür benötigst du . Diesen Winkel erhältst du durch den Sinussatz.
Unter Anwendung des Sinussatzes erhältst du:
und mit den eingesetzten Werten
und damit ergibt sich
ausgerechnet und nach dem Winkel umgeformt, (Anwendung von ) erhältst du dann
Mithilfe von und dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck erhältst du in dem Dreieck folgenden Ansatz:
Dieser Ansatz basiert darauf, dass der kürzeste Weg der Strecke die senkrechte Verbindung von zur Strecke darstellt. Dies bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und du das Seitenverhältnis mit dem Sinus anwenden kannst.
Dabei ist .
Umgeformt erhältst du mit dem Ansatz
also
Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Position vom Punkt entfernt ist.
Teilergebnis: Ergebnis:
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Teilaufgabe a
Diese Aufgabe kannst du mit Hilfe des Kosinussatzes lösen.
Betrachte das Dreieck .
Die Seite liegt dem Winkel gegenüber. Laut Kosinussatz gilt daher:
Wenn du die Zahlenwerte einsetzt, heißt das:
Daraus erhältst du ganz einfach durch Wurzelziehen und Ausrechnen mit dem Taschenrechner:
Das Schiff entfernt sich von , bis es die Position erreicht. liegt auf der Halbgeraden [ und hat die kleinstmögliche Entfernung zum Punkt .
Berechnen Sie die Länge der Strecke .
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Teilaufgabe b
Auch diese Aufgabe kannst du mithilfe des Kosinussatzes lösen.
Davor rechnest du aber am besten noch die Winkel und aus.
erhältst du durch die Winkelsumme in Dreiecken, indem du ausnutzt, dass
Umgeformt erhältst du
und damit
also:
Wegen erhältst du durch
Damit ergibt sich,
also .
Mit dem Winkel kannst du den Kosinussatz anwenden, um zu bestimmen:
und damit erhältst du