Gegeben sind die Funktionen mit der Gleichung und mit der Gleichung . Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse . Die Strecken sind für die Basen von gleichschenkligen Dreiecken .
Für die Höhen der Dreiecke gilt:
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Koordinatensystem ein.
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Lösung zur Teilaufgabe a
Bei der Aufgabe geht es darum, dass du für das Dreieck zeichnest. Die Graphen von und sind dir bereits gegeben. Gesucht sind nun zunächst die Punkte und , welche laut Angabe dieselbe Abszisse besitzen.
Darauf aufbauend kannst du dann die Punkte und finden und dann das gleichschenklige Dreieck in das Koordinatensystem einzeichnen.
Ausgehen von zeichnest du auf und auf ein. Der Punkt hat die Koordinaten und die Koordinaten .
Verbinde die Punkte und .
Laut Angabe sind die Strecken und somit auch die Höhen der Dreiecke. ist die Spitze der Dreiecke und da diese gleichschenklig sind ist der Fußpunkt (und somit auch ) genau in der Mitte zwischen und (hier: und )
Du findest also entweder durch Abmessen oder durch Konstruktion der Mittelsenkrechten.
Durch Abmessen oder Überlegen findest du also den Punkt
Schließlich musst du noch die Punkte , und , miteinander verbinden.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
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Lösung zur Teilaufgabe b
Bei der Teilaufgabe (b) geht es darum, die Länge der Strecke in Abhängigkeit von darzustellen und somit folgendes Ergebnis zu zeigen: .
Die Punkte und haben immer dieselbe Abszisse . Das bedeutet, dass die Strecke zwischen den beiden die Differenz der -Koordinaten ist.
Berechne diese, um die Strecke herauszufinden.
Löse die Klammer auf und klammere aus und stelle die Summanden, die enthalten hintereinander.
Klammere aus.
Klammere aus.
Die Strecke hat die, von abhängige Länge .
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für .
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Lösung zur Teilaufgabe c
Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchst du eine Grundlinie und die dazugehörige Höhe.
In diesem Fall ist die Grundlinie und die Höhe .
Stelle die Gleichung für einen Flächeninhalt von auf.
Setze die aus der Angabe bekannten Werte für und ein. Für kannst du die Formel aus der Teilaufgabe (b) nutzen.
Löse diese Gleichung nach auf.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Umformung: -4,5
Stelle die Gleichung nun so um, dass nur noch auf der rechten Seite steht!
Umformung: :4,5
Nutze den Logarithmus zur Basis um diese Gleichung zu lösen.
Die Abszisse der Punkte und beträgt .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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