Gegeben sind die Funktionen mit der Gleichung und mit der Gleichung .
Im Koordinatensystem ist der Graph zu eingezeichnet.
Der Graph zu kann durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und als Affinitätsmaßstab () auf den Graphen zu abgebildet werden.
Bestimmen Sie den Affinitätsmaßstab und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
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Lösung zur Teilaufgabe a
Für diese Aufgabe benötigst du ein grundlegendes Wissen über Definitions- und Wertebereich einer Funktion.
Gesucht ist ein Faktor , sodass . Durch Vergleich der Vorfaktoren des Terms erkennst du, dass
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Die Funktion kann nur dort definiert sein, wo das Argument der Quadratwurzel nicht negativ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
Umformung: -2,5
Also ist der Definitionsbereich der Funktion gegeben durch .
Für den Wertebereich der Funktion liest du aus dem Funktionsgraphen ab:
.
Punkte auf dem Graph zu und Punkte auf dem Graphen haben dieselbe Abszisse und sind für zusammen mit Punkten die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken mit den Hypotenusen .
Es gilt: .
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
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Lösung zur Teilaufgabe b
Du startest mit den Punkten und . Beide Punkte liegen auf der Geraden und die -Koordinaten sind durch für sowie durch für gegeben. Ferner weißt du, dass die Hypotenuse des Dreiecks werden wird. Daher ist der Winkel rechtwinklig. Da die Eckpunkte von Dreiecken stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet werden, muss links von liegen. Du zeichnest also die Normale zur Strecke durch den Punkt ein und trägst die gegebenen nach links ab. Dort liegt .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt:
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Lösung zur Teilaufgabe c
Da die Punkte und stets die gleiche -Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke durch die Differenz der -Koordinaten gegeben. Du berechnest:
Im Dreieck gilt: .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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Lösung zur Teilaufgabe d
Für diese Aufgabe lohnt sich ein Blick in den Artikel über trigonometrische Beziehungen.
Der Winkel wird im Folgenden mit bezeichnet. Schau dir dazu auch die nicht maßstabsgetreue Skizze auf der rechten Seite an. Wir benutzen die Tangensformel
im rechtwinkligen Dreieck . Hier ist die Gegenkathete und die Ankathete. Wir lösen diese Beziehung nach der Ankathete auf und erhalten
Nun löst du die in Teilaufgabe (c) bestimmte Gleichung nach auf:
Umformung: -7
Umformung: :(-3,5)
Umformung: \;()^2
Umformung: -2,5\text{ und Seiten vertauschen}
Abschließend setzt du ein und erhältst .
Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt der Dreiecke gilt: .
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Lösung zur Teilaufgabe e
Hier benutzt du Resultate über den Flächeninhalt von Dreiecken.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, kannst du dessen Flächeninhalt gemäß
berechnen (siehe hierzu den "Sonderfall rechtwinkliges Dreieck" im Artikel über den Flächeninhalt). Du setzt und das Resultat für aus Teilaufgabe (c) ein und erhältst:
Hier hast du benutzt, dass die Quadratwurzel (falls definiert) stets nicht-negativ, d.h. , ist.