Der Punkt ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten . Die Eckpunkte der Rauten liegen auf der Geraden mit der Gleichung mit .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Gerade sowie die Rauten für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit
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Lösung zu a
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Die Zeichnung enthält bereits alle in der Aufgabe zu machenden Schritte.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
Ergebnis:
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Lösung zu b
Die Koordinaten des Vektors erhältst du, indem du den Vektor um drehst, mit dem Drehwinkel (siehe Zeichnung).
Für den Vektor erhältst du:
Um dann die Koordinaten des Vektors (also des Punktes ) zu erhalten, musst du nach der Drehung den Vektor zu addieren (Vektorkette/Parallelverschiebung).
Es ergibt sich also
und weiter
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte und zeichnen Sie sodann den Trägergraphen in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
Ergebnis:
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Lösung zu c
Wir nehmen an, die Koordinaten des Punktes lauten , da der Punkt ja ein "eigenes" bekommen soll.
Außerdem lauten die Koordinaten des Punktes auch
in Abhängigkeit von (siehe Teilaufgabe (b)).
Daraus ergibt sich nun folgende Gleichung:
Zeigen Sie, dass für den Umfang der Rauten in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
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Lösung zu d
Den Umfang einer Raute berechnest du, indem du die Länge einer Seite bestimmst und dann mit vier multiplizierst.
Daher musst du bei dieser Aufgabe lediglich die Länge des Vektors in Abhängigkeit von bestimmen ( selbst wurde in Teilaufgabe (b) schon bestimmt).
Analog würde es über die Koordinaten der Punkte und , also der Länge der Strecke funktionieren.
Der Punkt der Raute liegt auf dem Trägergraphen der Punkte .
Berechnen Sie den Umfang der Raute .
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Lösung zu e
Wenn der Punkt sowohl auf der Geraden liegen soll (wie jeder Punkt laut Angabe) und zugleich auf der Geraden , dann kann es sich beim Punkt nur um den Schnittpunkt dieser beiden Geraden handeln.
Um das gemeinsame zu berechnen, musst du lediglich die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:
Um nun den Umfang der Raute in Abhängigkeit von zu bestimmen, setzt du in die Gleichung für den Umfang (siehe Teilaufgabe (d)) ein:
Die Diagonale der Raute ist parallel zur -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für und geben Sie den Flächeninhalt der Raute an.
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Lösung zu f
Wenn die Diagonale parallel zur y-Achse sein soll, heißt das, dass die x-Koordinaten der beiden Punkte und gleich sein müssen.
Du kannst also das gemeinsame berechnen, indem du die x-Koordinaten der Punkte und gleichsetzt:
Setze in ein:
Für ergibt sich also .
Für die Berechnung des Flächeninhalts der so entstandenen Raute gibt es einige unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten.
(Verwende geschickterweise die Berechnung, die am zeitsparendsten und am wenigsten fehleranfällig ist.)
Wenn man die Raute betrachtet fällt auf, dass die Diagonalen sich recht leicht berechnen lassen:
- die Diagonale hat die doppelte Länge des Abstandes der x-Koordinaten von und :
- die Diagonale hat die Länge des Abstandes der y-Koordinaten von und :
Nun kannst du mit der Flächenformel den Flächeninhalt der Raute berechnen:
wobei und die Diagonalen der Raute sind: