Punkte liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke mit dem Mittelpunkt . Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte und sind die Eckpunkte von Dreiecken . Punkte sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten auf die Strecke .
Es gilt:
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
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Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe wendest du die trigonometrischen Beziehungen an, um die Länge in Abhängigkeit des Winkels zu bestimmen. Zunächst benutzen wir die Formel
im linken kleinen Dreieck . Da der Winkel rechtwinklig ist, darfst du die trigonometrischen Beziehungen anwenden. Hier ist die Strecke die Gegenkathete und die Strecke die Hypotenuse. Also gilt
Umformung: \cdot \overline{AD_n}
Jetzt benötigen wir jedoch noch einen Ausdruck für die unbekannte Länge . Dazu benutzen wir nun die Kosinusformel
im großen rechtwinkligen Dreieck . Erinnere dich, dass hier der Winkel gemäß dem Satz des Thales rechtwinklig ist. Folglich ist nun die Ankathete die Strecke und die Strecke die Hypotenuse. Also gilt
Umformung: \cdot \overline{AB}
Diese Beziehung setzen wir nun in die Gleichung ein und erhalten abschließend
Die Dreiecke rotieren um die Achse .
Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
Berechnen Sie sodann für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
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Teilaufgabe b
Allgemeines
In dieser Aufgabe sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen und dabei zeigen, dass dieses mit berechnet werden kann.
Hierzu überlegst du dir zunächst, welche Figur bei der Rotation entsteht. Die Dreiecke rotieren um die Achse . Dabei entstehen in Abhängigkeit von Rotationskörper.
Für die Berechnung des Volumens der Rotationskörper ist es hilfreich, wenn du das Dreieck in die zwei Dreiecke und unterteilst.
(siehe Darstellung)
Durch die Rotation dieser Dreiecke entstehen zwei Kegel:
- Durch entsteht ein Kegel mit dem Volumen .
- Durch entsteht ein Kegel mit dem Volumen .
Für das Volumen eines Kegels gilt mit der Grundfläche und der Höhe folgende Formel: . Es gilt für die Grundfläche .
Sowohl für als auch für gilt und dementsprechend .
Für gilt und daraus folgt .
Ähnlich gilt für , dass und dementsprechend auch.
Für das Gesamtvolumen erhältst du nun
In Aufgabe a hast du gesehen, dass
Somit fehlen uns für die Darstellung der Lösung nur noch die Längen und .
Bestimmung von
Mithilfe des Tangens stellt man in dem Dreieck folgende Formel auf:
Durch Umformung der Gleichung ergibt sich:
Umformung: \cdot \overline{AD_n}
Umformung: :\tan \alpha
Da in der Gleichung aus der Angabe kein Tangens vorkommt, ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch .
Also ergibt sich (unter Anwendung der Rechenregel für Doppelbrüche):
Bestimmung von :
Für die Bestimmung von gibt es mehrere Möglichkeiten. Aus diesen Möglichkeiten ergeben sich verschiedene Lösungswege, um zu bestimmen. Im Folgenden sind zwei Lösungswege aufgeführt.
Lösungsweg 1:
In dem Dreieck gilt:
Umgestellt nach ergibt sich:
Da , erhältst du .
Setzt man in ein, so erhält man:
Nun kennst du für und für Ausdrücke in Abhängigkeit von .
Diese Ausdrücke setzt man nun in die Volumenformel ein:
Damit ergibt sich:
Wenn du ausklammerst, erhältst du
Setzt du nun in die Gleichung ein, so ergibt sich:
Und damit hat man die Formel aus der Angabe korrekt hergeleitet.
Für ergibt sich sodann
Lösungsweg 2:
liegt in dem Dreieck . Um in Abhängigkeit vom Winkel darzustellen ist es also praktisch in dem Dreieck zu suchen.
Zunächst beginnst du in dem Dreieck, indem vorzufinden ist: also in . Dort findest du den Winkel und einen Winkel. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du also den Winkel errechnen: daraus folgt .
Da das Dreieck mit stets auf dem Thaleskreis liegt gilt allgemein für die Winkel , dass .
Mit Hilfe von kannst du durch diesen Zusammenhang den Winkel in Abhängigkeit von darstellen:
Dadurch lässt sich in Abhängigkeit von darstellen:
Daraus folgt:
Da in der Endgleichung der Aufgabe kein Tangens vorkommt ist es sinnvoll diesen zu ersetzen. Diesen ersetzt du durch
Also ergibt sich:
Nun kennst du also und in Abhängigkeit von und du kannst die beiden Streckenlängen in die Volumengleichung
einsetzen.
Also:
Zusammengefasst ergibt das:
Zum einfachen Rechnen klammert man aus:
lässt sich zusammenfassen, dafür erweitern wir beide Brüche mit dem jeweils anderen Nenner (siehe auch Addition ungleichnamiger Brüche):
Mit (Trigonometrischer Pythagoras) ergibt sich dann für folgender Ausdruck:
Wegen erhält man den Ausdruck
Ausmultipliziert und zusammengefasst, ergibt sich:
Und somit hat man das gewünschte Ergebnis hergeleitet.
Für ergibt sich sodann .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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