Gegeben ist das Drachenviereck mit der Symmetrieachse und dem Diagonalenschnittpunkt .
Es gilt: und .
Punkte auf der Strecke legen zusammen mit den Punkten und die Drachenvierecke fest.
Die Winkel haben das Maß mit
Die Zeichnung zeigt das Drachenviereck und das Drachenviereck für .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Drachenviereck für in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. Bestätigen Sie sodann die untere Intervallgrenze für durch Rechnung.
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Zunächst versuchst du die Lage des Punktes so zu konstruieren, dass für ein Winkel entsteht. In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer . Das Dreieck ist gleichschenklig, die Winkel und sind also gleich groß. Für die Winkelsumme erhältst du nun und damit . Mit diesem Winkel kannst du jetzt den Punkt , wie unten gezeigt, bestimmen.
Je weiter der Punkt nach unten wandert, desto spitzer wird der Winkel . Am kleinsten ist also, wenn der Punkt erreicht ist. Das Dreieck ist rechtwinklig, deshalb kannst du hier gut den Tangens verwenden und erhältst:
Mit deinem Taschenrechner und der Umkehrfunktion des Tangens bekommst du als Ergebnis: .
Die Drachenvierecke rotieren um die Gerade . Zeigen Sie, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
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Der Rotationskörper besteht aus zwei Kegeln, die dieselbe Grundfläche, aber verschiedene Höhen haben. Das Volumen des Körpers ist also die Summe der beiden Kegelvolumen.
Allgemein gilt:
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius . Er hat den Flächeninhalt:
Der obere Kegel hat die Höhe . Damit kannst du sein Volumen bestimmen:
Der untere Kegel hat die Höhe , die Länge dieser Strecke ist von der Größe des Winkels abhängig. In dem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du:
Das Volumen des unteren Kegels ist also:
Wenn du nun die Summe bildest und dann ausklammerst, entsteht das Volumen des Rotationskörpers:
Das Drachenviereck ist ein Quadrat. Bestimmen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
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In einem Quadrat hat jeder Innenwinkel den Wert , also gilt für das Quadrat auch . Das kannst du nun in die Formel aus Teilaufgabe b) einsetzen und erhältst:
Das Volumen des Rotationskörpers des Quadrats beträgt also .