Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung .
Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
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Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.
Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz .
Der maximale Wertebereich einer Exponentialfunktion ist
- falls und
- falls .
An der in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialfunktion im Vergleich zur Funktionsgleichung lediglich um Einheiten nach unten verschoben ist.
Es gilt also ebenfalls .
Da bei der Exponentialfunktion die Basis größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von durch gegeben.
Folglich ist der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion .
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Nun kannst du den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Der Graph der Funktion wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung besitzt und zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
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Lösung zur Teilaufgabe b
Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der -Achse als Affinitätsachse und als Affinitätsmaßstab auf die Funktion an. Dann folgt
und damit
.
Parallelverschiebung mit dem Vektor liefert
.
Es gilt also .
Mit folgt und damit
.
Insgesamt folgt also:
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Nun kannst du die Funktion in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse und sind für zusammen mit Punkten und die Eckpunkte von Drachenvierecken . Die Strecken liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke .
Es gilt:
Zeichnen Sie das Drachenviereck für und das Drachenviereck für in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
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Lösung zur Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.
Nun sollst du die beiden Drachenvierecke und in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte und bestimmen.
Um den Punkt zu berechnen, setzt du in ein und erhältst ungefähr . Für den Punkt setzt du in ein und erhältst den gerundeten Punkt .
Die Punkte und berechnest du analog, indem du in und einsetzt.
Dies liefert ungefähr und .
Außerdem weißt du aus der Angabe, dass gilt, insbesondere also auch und .
Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse
sowie
Laut Angabe gilt zudem, dass auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke liegen, insbesondere liegen also auch auf und auf .
Folglich liegen und bezüglich der Symmetrieachsen bzw. symmetrisch zu bzw. . Dies bedeutet, dass und jeweils die gleichen -Koordinaten haben. Du erhältst also, indem du an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse spiegelst.
Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke und in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:
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Da 3 Einheiten von der Spiegelachse entfernt liegt, ist die x-Koordinate von bezüglich um Einheiten nach links verschoben.
Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse:
und
Alternativ kannst du die Punkte auch berechnen, indem du den Vektor
spiegelst, also den Vektor verwendest.
Dies liefert , also und
Diese Punkte kannst du nun in dein Koordinatensystem einzeichnen und zu den gewünschten Drachenvierecken verbinden.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: LE.
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Lösung zur Teilaufgabe d
In dieser Teilaufgabe geht es um die Berechnung der Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten.
Um die Länge der Strecke zu berechnen, bemerkst du zunächst, dass die Punkte und dieselbe -Koordinate besitzen, also "untereinander" liegen, wobei jeweils der obere und der untere Punkt ist.
Den Abstand dieser zwei Punkte berechnest du nun, indem du die -Koordinate des Punktes von der -Koordinate des Punktes abziehst.
Es gilt also
Ersetze durch .
Vereinfache
Klammern auflösen
Klammere aus
Vereinfache
Es ist also .
Unter den Drachenvierecken gibt es die Raute .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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Lösung zur Teilaufgabe e
In dieser Teilaufgabe berechnest du die Koordinaten eines Punktes einer Raute.
Für die Raute gilt .
Aus Teilaufgabe d weißt du, dass gilt.
Damit folgt nun
Jetzt kannst du die Gleichung nach auflösen. Dafür benötigst du die Rechenregeln des .
Auflösen liefert:
Umformung: -10
Umformung: :(-2,125)
Umformung: \ln (\cdot )
Wende Rechenregel des an.
Umformung: :\ln (0,75)
Umformung: -2
Vereinfache
Runde
Die -Koordinate des Punktes ist also .
Die -Koordinate von erhältst du durch Einsetzen von in .
Dies liefert als -Koordinate.
Mit folgt nun
Damit ist der Punkt durch gegeben.
Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Drachenvierecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: FE.
Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke gilt: FE.
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Lösung zur Teilaufgabe f
In dieser Aufgabe berechnest du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks.
Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks wird durch berechnet.
Nun kannst du den Flächeninhalt der Drachenvierecke berechnen:
In Teilaufgabe B. 1.4 hast du berechnet.
Weil bezüglich der Symmetrieachse symmetrisch zu ist und gilt, folgt
Damit erhältst du
Löse die Klammer auf.
Kürze.
Es ist also .
Da der Termwert von für alle negativ ist, gilt für den Flächeninhalt der Drachenvierecke immer . Insbesondere gilt dies also auch für alle .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe ansehen.
Eingebetteter Serlo-Inhalt