Das Rechteck ist die Grundfläche der Pyramide . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke , der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke . Die Spitze liegt senkrecht über dem Punkt .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung:
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke sowie das Maß des Winkels .
(4 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide
Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke und legst an diese Strecke im Punkt den Winkel an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke an. Die Strecke hat in deiner Zeichnung die Länge , da der Streckungsfaktor ist.
Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke parallel zur Strecke und parallel zu ein. Außerdem zeichnest du , den Mittelpunkt der Strecke , mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du , den Mittelpunkt der Strecke , ein.
Danach zeichnest du die Strecke ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche () mit der Spitze .
Länge der Strecke
Außerdem ist die Länge der Strecke gesucht.
Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck , wobei die Hypotenuse ist.
Umformung: \sqrt{ }
Setze die Strecken und ein.
Berechne
Die Länge der Strecke beträgt .
Maß des Winkels SFE
Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.
Das Maß des Winkel beträgt also ungefähr .
Punkte liegen auf der Strecke und bilden zusammen mit dem Punkt Winkel mit dem Maß . Es gilt: .
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit der Grundfläche und den Höhen mit . Zeichnen Sie die Pyramide für und die zugehörige Höhe in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
(2 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe b
Einzeichnen der Pyramide
Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass auf der Strecke liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke die Länge hat. Das heißt liegt auf und hat von den Abstand .
Im zweiten Schritt legst du an die Strecke im Punkt den Winkel an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke , wobei der Punkt auf der Strecke liegt.
Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten und ein.
Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide auf die Strecke und erhältst somit die Höhe .
Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide dar.
Begründen Sie die obere Intervallgrenze für .
(2 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe c
Obere Grenze von
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Der Winkel ist der Winkel und den größten Winkel erhält man, wenn ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel . Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.
Nun musst du den Winkel bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass , das heißt hat die obere Grenze . Und da die obere Grenze von dem Winkel entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass ist.
Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
Außerdem ist der Winkel der Nebenwinkel von und deshalb gilt für . Im Folgenden wird der Winkel als bezeichnet.
Nun bestimmst du , den Nebenwinkel von , indem du rechnest.
Somit ist die obere Intervallgrenze von .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
(2 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe d
Länge der Strecke
Zur Bestimmung der Länge der Strecke nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:
Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach um.
Der Winkel entspricht dem Winkel und deshalb gilt: .
Die Strecke ist einfach .
Nun bestimmst du noch den Winkel in Abhängigkeit von . Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer ist. Deshalb ist der Winkel gegeben durch .
Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit und rundest auf Zweinachkommastellen .
Außerdem gilt . Deshalb klammerst du im nächsten Schritt aus und erhältst:
Nun wendest du noch an. Das heißt du kannst das einfach weglassen.
Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke ist.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von .
(3 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe e
Volumen der Pyramide
Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.
Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch
Grundfläche der Pyramide
Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).
Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck . Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch
Als Grundlinie legst du die Strecke fest und als Höhe die Strecke . Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:
Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ist .
Die Höhe der Pyramide
Die Höhe der Pyramide ist die Strecke . Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke bestimmst du mit , wobei die Gegenkathete die Strecke ist und die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel Nebenwinkel von und somit gilt: .
Nun stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.
Umformung: \cdot \overline{GP_n}
Setze aus Teilaufgabe d) ein.
Die Höhe der Pyramide ist .
Volumen der Pyramide
Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.
Das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von ist .
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen der Pyramide .
(4 Punkte)Lösung zur Teilaufgabe B 2.1
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Lösung zur Teilaufgabe f
Prozentuale Anteil von an
Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.
Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen .
Volumen der Pyramide
Gegeben ist, dass das ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel .
Nun berechnest du mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck.
Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von ist:
Das Volumen der Pyramide beträgt ungefähr .
Prozentualer Anteil
Gesucht ist der Prozentsatz . Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert durch den Grundwert teilst.
Das Volumen der Pyramide nimmt circa des Volumens der Pyramide ein.