Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck , das aus dem Drachenviereck mit der Symmetrieachse und dem Dreieck besteht. Es gilt: . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Fünfeck sowie die Strecken und .
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Teilaufgabe a
Zeichnung des Fünfecks ABCDE
- Da [AB] parallel zu ist, kann man eine Parallele , durch den Punkt konstruieren. Die Gerade steht senkrecht auf .
- Punkt ist der Schnittpunkt der Geraden und .
- = 90°
- Winkelhalbierende halbiert den Winkel
- Punkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden .
- Strecke
- Da parallel zu ist, kann man eine Parallele , durch den Punkt konstruieren. Die Gerade steht senkrecht auf .
- Punkt ist der Schnittpunkt der Geraden und .
- = 90°
- Winkelhalbierende halbiert den Winkel
- Punkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Halbgeraden .
- Strecke
Begründen Sie, weshalb und .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke .
Teilergebnis:
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Teilaufgabe b
und :
- Da = 90° und parallel zu ist, ist auch .
- Da und ist, ist °.
- Innenwinkelsumme im Dreieck :
Das rechtwinklige Dreieck hat zwei gleich große Winkel, es ist damit gleichschenklig mit .
Länge von und :
Umformung: \cdot 11\;\textrm{cm}
Berechnen Sie die Länge der Strecke und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks am Flächeninhalt des Fünfecks .
Teilergebnis:
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Teilaufgabe c
Länge von :
( ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks )
Umformung: \cdot11cm
Flächeninhalt des Drachenvierecks :
Das Viereck besteht aus zwei flächengleichen rechtwinkligen Dreiecken .
Fläche des Fünfecks :
Die Fläche des Fünfecks , besteht aus dem Viereck und dem rechtwinkligen Dreieck .
Prozentualer Flächenanteil des Drachenvierecks am Fünfeck :
Auf der Strecke liegen Punkte , für die gilt: mit . Punkte liegen auf dem Kreisbogen mit dem Mittelpunkt .
Ferner gilt: .
Zeichnen Sie den Kreisbogen und die Strecke für in die Zeichnung zu Teilaufgabe a) ein.
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Teilaufgabe d
Kreisbogen und die Strecke []:
- Kreisbogen von Punkt bis Punkt mit Mittelpunkt und .
- ist parallel zu
- ist der Schnittpunkt von und der Halbgeraden
Der Punkt ist der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Symmetrieachse des Drachenvierecks .
Ergänzen Sie die Zeichnung zu Teilaufgabe a) um das Dreieck und berechnen Sie die Länge der Strecke .
Zwischenergebnis:
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Das Dreieck :
Länge der Strecke :
Da und , ist auch der Winkel Das heißt, das Dreieck ist rechtwinklig.
Der Winkel :
Das Dreieck ist gleichschenklig, da . Somit sind auch die Winkel .
Innenwinkelsumme im Dreieck :
einsetzen
Umformung: \cdot7,78\;\textrm{cm}
Die Bogenlänge des Kreisbogens mit dem Mittelpunkt beträgt . Berechnen Sie das Maß des Winkels und den zugehörigen Wert für .
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Teilaufgabe f
mit Bogenlänge , Mittelpunkt :
Bogenlänge allgemein:
Bekannte Werte einsetzen:
Umformung: 360^\circ
Umformung: :\ \left(15,56\cdot\pi\right)
Der zugehörige Wert :
Umformung: \cdot7,78