Aufgabe B4
Das Drachenviereck mit der Symmetrieachse und dem Diagonalenschnittpunkt ist die
Grundfläche der Pyramide mit der Höhe .
Es gilt: ; ;
; .
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: ;
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . (4 P)
Teilergebnisse:
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Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide .
Markiere alle bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot.
Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung
geg.: und
ges.: Schrägbild der Pyramide mit auf Schrägbildachse
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide mit Schrägbildachse ;
liegt links von , und
2. Berechnung der Länge der Strecke mit Pythagoras:
Die Länge der Strecke beträgt .
3. Berechnung mithilfe Tangens:
Für Punkte und gilt: und mit und . Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit den Grundflächen und den Höhen .
Zeichnen Sie die Pyramide und die Höhe für in das Schrägbild zu a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke . (4 P)
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Einzeichnen der Pyramide und der Höhe für in rot in das Schrägbild, Berechnung der Streckenlänge von
geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:
zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:
Punkte weiter gilt
mit und ; sind Spitzen der Pyramide mit den Grundflächen und den Höhen
ges.: Schrägbild der Pyramide mit auf Schrägbildachse und
für ; Länge der Strecke
Ansatz und Rechnung:
1. Einzeichnen der Pyramide und der Höhe für :
- Berechnung ; einzeichnen
- Berechnung ; einzeichnen
- Eckpunkte der Pyramide verbinden
2. Berechnung der Länge der Strecke mithilfe des Kosinussatzes:
Kosinussatz:
mit
Werte von⋅ und berechnen:
Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:
Die Länge von beträgt
Bestimmen Sie durch Rechnung, um wie viel Prozent das Volumen der
Pyramide kleiner ist als das Volumen der Pyramide . (4 P)
Zwischenergebnis:
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Berechnung der Volumina der Pyramiden und und anschließender Vergleich ihrer prozentualen Anteile
geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b
ges.: %-Anteil des Volumens von an
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung des Volumens der Pyramide mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:
Das Volumen einer Pyramide ist
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt
hierbei sind
2. Berechnung des Volumens der Pyramide :
hierbei sind
errechnet man aus und dem Sinus aus
; nach Umformung
3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von an :
Für die Pyramide gilt: .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für . (2 P)
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Aufstellen der Gleichungen für zwei Strecken und Berechnung der Unbekannten x
geg.: Für die Pyramide gilt
ges.: zugehöriger Wert für und
Ansatz und Rechnung:
1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken und :
Analog zu und gilt dann
und
2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten :
Umformen und nach x auflösen:
Der zugehörige Wert ist
In der Pyramide hat der Winkel das Maß .
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für . (2 P)
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Geometrische Analyse
geg.: In der Pyramide gilt
ges.: zugehöriger Wert für
Ansatz und Rechnung:
Alle Dreiecke werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: Der Punkt liegt auf dem Thaleskreis über .
Daher gilt:
Der x-Wert ist also 6