Aufgabe B3
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung und die Funktion mit der Gleichung .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Wertemenge von an und zeichnen Sie die Graphen zu und für
in ein Koordinatensystem. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
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- Betrachte das Grenzwertverhalten von und ermittle so die Wertemenge.
- Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen und .
- Zeichne mithilfe der Wertetabelle die beiden Graphen und .
Wertebereich von
Dafür betrachten wir das Grenzwertverhalten:
- geht für gegen unendlich
- ist die waagrechte Asymptote, deshalb geht für gegen
Weil monoton fällt, ergibt sich damit der Wertebereich
Wertetabelle für die einzelnen Funktionen
:
Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen
Der Graph der Funktion kann durch Parallelverschiebung mit dem Vektor
auf den Graphen der Funktion abgebildet werden .
Geben Sie die Koordinaten des Vektors an. (1 P)
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Führe eine Parallelverschiebung mit dem Vektor durch.
Parallelverschiebung der Funktion auf mit
Vektoraddition mit Ortsvektoren und Verschiebungsvektor
Daraus ergeben sich diese zwei Gleichungen:
in die zweite Gleichung einsetzen
Für die Berechnung von vergleichen wir die :
Für die Berechnung von vergleichen wir die der Gleichung:
Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf
dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse . Sie sind zusammen mit Punkten
Eckpunkte von Dreiecken .
Es gilt: ; .
Zeichnen Sie das Dreieck für und das Dreieck für in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes . (4 P)
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- Setze und in die allgemeine Form von und ein
- Trage die Punkte in dein Koordinatensystem ein, füge den Winkel . hinzu und miss ab.
- Verbinde nun die zusammengehörenden Punkte und du erhältst die gesuchten Dreiecke.
- Teile das Dreieck so ein, dass du einen rechten Winkel erhältst. Berechne damit die x-Koordinate von mithilfe der Sinusformel indem du bekannte Werte nutzt.
für bestimmen
- Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von und , indem wir in die allgemeine Form einsetzen:
- an die Strecke antragen und zu abmessen
für bestimmen
- Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von und , indem wir in die allgemeine Form einsetzen:
- an die Strecke antragen und zu abmessen
Einzeichnen und mit berechneten Punktewerten und Winkel:
Berechnung der Koordinate von Punkt
Umformung: \cdot5
Umformung: -2
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von
der Abszisse der Punkte gilt:
.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks . (4 P)
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- Vergleiche die Punkte und sowie und in deiner Zeichnung. Was fällt dir auf?
- Berechne die Länge der Strecke über die Differenz der y-Koordinaten von und .
- Nutze für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks die Flächenformel mit dem Sinus.
Berechnung der Strecke
- Uns fällt auf, dass die Strecke (unabhängig vom eingesetzten x-Wert) immer senkrecht im Koordinatensystem steht.
- Also berechnen wir die Länger der Strecke mit der der beiden y-Werte von und :
ausklammern
Klammer ausrechnen
Fläche berechnen mit der Flächenformel:
Wir berechnen zunächst die einzelnen Bestandteile:
- Zur Berechnung von nutzen wir die gerade berechnete Formel für und setzen ein
;
- und mit
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis .
Berechnen Sie die zugehörige x-Koordinate des Punktes . (2 P)
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- Überlege dir, welche Auswirkung ein gleichschenkliges Dreieck auf die Seitenlängen eines Dreiecks hat.
- Schließe nun auf die Seitenlänge der unbekannten Seite .
- Berechne mit und dem Wert von .
- Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis .
- Daraus folgt, dass Die Seiten und die gleiche Länge besitzen.
- Da immer 5 LE besitzt, muss also gelten: LE
Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für gleich:
Umformung: -4
Umformung: :0,78
Umformung: \log_{0,75}
Umformung: +2
Begründen Sie, weshalb das Dreieck gleichseitig ist. (1,5 P)
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- Überlege dir, welche Konsequenzen ein gleichschenkliges Dreieck für die Winkelmaße in dem Dreieck hat.
- Berechne alle Winkel des Dreiecks . Nutze hierfür bekannte Maße und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks
- Folgere daraus, dass es sich bei um ein gleichseitiges Dreieck handeln muss.
- Bei einem Gleichschenkligen Dreieck haben die beiden Basiswinkel dasselbe Winkelmaß. Es gilt also:
- Wir kennen bereits einen Winkel im Dreieck:
- Durch die Innenwinkelsumme eines Dreiecks folgt deshalb:
- Also gilt: und somit müssen alle Seiten die gleiche Länge besitzen und des handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.