Die Parabel mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form mit . Die Gerade hat die Gleichung
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel die Gleichung
hat und zeichnen Sie die Gerade für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
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Teilaufgabe a
Die Parabel hat die Gleichung
Stelle zunächst mithilfe des Scheitelpunktes die Scheitelpunktform auf.
allgemein:
Da die Parabel die Form haben soll, können wir die fehlenden Variablen einsetzen: und .
Binomische Formel anwenden.
Klammer ausmultiplizieren.
Zusammenfassen.
Einzeichnen der Geraden :
Da die lineare Funktion einen y-Achsenabschnitt hat, haben wir den Startpunkt (siehe Zeichnung unten) und eine Steigung
(Wir gehen Einheiten nach rechts und nach unten.)
Punkte auf der Parabel und Punkte auf der Geraden haben dieselbe Abszisse und sind für Eckpunkte von Rauten . Dabei gilt: .
Zeichnen Sie die Raute für in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.
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Teilaufgabe b
Einzeichnen einer Raute für in das Koordinatensystem:
Einsetzen von in die Koordinaten und .
Damit haben wir die Koordinaten und .
- und einzeichnen und verbinden.
- Das Viereck ist ein Drachenviereck, also sind [] und [] Symmetrieachsen.
- Mittelsenkrechte zu .
- Da wir wissen, dass ist, können wir abmessen.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von und begründen Sie sodann, weshalb es unter den Rauten keine Raute mit einem Flächeninhalt von geben kann.
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Teilaufgabe c
Flächeninhalt der Raute :
allgemein:
Wir kennen die Diagonale . Die Diagonale ermitteln wir, indem wir die y-Koordinate von von abziehen:
Klammer auflösen.
Zusammenfassen.
In die Formel einsetzen:
Einsetzen.
Kürzen.
Klammer ausrechnen.
Die Flächenformel ist eine Parabel, gesucht ist der Extrempunkt (Scheitelpunkt):
Scheitelpunkt mithilfe der Formel:
In diesem Fall ist nur interessant.
Aus der Gleichung ist zu schließen, dass , und .
(allgemein: )
Folglich gibt es keine Raute mit einem Flächeninhalt von .
Unter den Rauten gibt es die Quadrate und .
Bestimmen Sie rechnerisch die -Koordinaten der Punkte und .
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Teilaufgabe d
x-Koordinaten der Quadrate und :
Umformung: -4
Die quadratische Gleichung wird mit der Mitternachtsformel gelöst:
und
und