Gegeben ist das Dreieck mit und .
Der Punkt ist der Fußpunkt des Lotes vom Eckpunkt auf die Seite (siehe Skizze).
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Dreieck und die Strecke .
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Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck mit dem Punkt und der Strecke zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:
- Zeichne die Strecke (siehe türkis)
- Zeichne einen Kreis um mit Radius (siehe grün)
- Zeichne einen Kreis um mit Radius (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt
- Zeichne und ein (siehe orange)
- Die Strecke ist die Höhe vom Punkt zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)
Berechnen Sie das Maß des Winkels , das Maß des Winkels und die Länge der Strecke . Ergebnisse:
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Lösung zur Teilaufgabe b
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel , und die Länge der Strecke berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz, die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.
Im Dreieck haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.
Setze ein
Umformung: -190,25
Umformung: :(-190)
Umformung: \cos ^{-1}(\dots )
Im Dreieck haben wir nun bereits einen rechten Winkel und gegeben. Der Winkel lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.
Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit . Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von benutzen.
Von aus gesehen ist die Hypotenuse und die Gegenkathete.
Setze ein
Umformung: \cdot10\,\text{cm}
Der Punkt auf der Verlängerung der Strecke über hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks . Der Winkel hat das Maß .
Zeichnen Sie das Dreieck und berechnen Sie die Länge der Strecke .
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Lösung zur Teilaufgabe c
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck einzeichnen und die Länge der Strecke bestimmen.
Einzeichnen des Dreiecks ABG
Um das Dreieck zu zeichnen, muss man die Strecke verlängern und eine Gerade einzeichnen, die im Winkel zur Strecke steht (siehe orange). Trage dazu den Winkel mit deinem Geodreieck ab. Der Schnittpunkt der Verlängerung und der Gerade ist der Punkt .
Berechnung der Länge von [CG]
Die Strecke lässt sich aus der Differenz berechnen.
Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke herausfinden.
Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke , nämlich . Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl und somit auch kennen. Außerdem ist gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.
Umformung: \cdot \sin (70^{\circ })
Damit können wir berechnen:
Im Dreieck berührt der Inkreis die Seite im Punkt und die Seite im Punkt .
Zeichnen Sie den Inkreis mit seinem Mittelpunkt und die Strecken und in die Zeichnung zur Teilaufgabe a) ein.
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Lösung zur Teilaufgabe d
Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks einzeichnen.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck . Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck .
Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken und einzeichnen.
Berechnen Sie das Maß des Winkels und den Inkreisradius .
Ergebnisse:
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Lösung zur Teilaufgabe e
Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß des Winkels sowie den Innenradius berechnen.
Wir kennen bereits die Winkel und . Im Dreieck werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.
Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck . Wie in Aufgabe d) gesehen, ist die Strecke der Radius des Inkreises.
Wir benötigen also noch die Länge der Strecke .
Im Dreieck kennen wir alle Winkel und eine Strecke (). Diese Voraussetzung bringt uns zum Sinussatz.
Umformung: \cdot \sin (0,5\cdot \varepsilon )
Nun können wir auch den Radius berechnen:
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks , das vom Kreisbogen sowie von den Strecken und begrenzt wird.
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Lösung zur Teilaufgabe f
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt des Flächenstücks bestimmen.
Das Viereck lässt sich durch die Strecke in zwei Dreiecke zerlegen. Die Dreiecke und sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel , und beide die Strecke besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:
Der Flächeninhalt des Kreissektors lässt sich berechnen mit der Formel:
Den gesuchten Flächeninhalt berechnet man also mit:
Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke und die Größe des Winkels .
Betrachte das Dreieck , in welchem der Winkel und gegeben sind. Wegen erhalten wir die Länge der Strecke durch:
Im Viereck sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als
Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen: