Das Drachenviereck ist die Grundfläche der Pyramide . Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der Diagonalen des Drachenvierecks (siehe Skizze).
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels .
Ergebnisse: und
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide :
- und steht senkrecht auf
- Die Grundfläche ist ein Drachenviereck, daher wissen wir, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Da ist, zeichnen wir eine Gerade durch im Winkel von 45°
- ist die Symmetrieachse, daher sind . In unserem Fall haben wir den Verkürzungsfaktor im Schrägbild, also ist .
- Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras:
Maß des Winkels :
Wir berechnen den Winkel im rechtwinkligen Dreieck (siehe Zeichnung oben) mithilfe der Trigonometrie:
Umformung: \tan^{-1}
Auf der Strecke liegt der Punkt mit . Punkte auf der Seitenkante bilden zusammen mit den Punkten und Dreiecke .
Im Dreieck gilt: ; im Dreieck gilt: .
Zeichnen Sie die Dreiecke und in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe b
Zeichnung des Dreiecks :
- Der Punkt und (rot).
- : Wir können also ein Lot von Punkt auf die Seite fällen (grün).
- Der Schnittpunkt der Lotgeraden und der Seite ist der Punkt .
Zeichnung des Dreiecks :
- Da sein soll, zeichnen wir eine Parallele durch den Punkt zur Seite (blau).
- Der Schnittpunkt der Parallelen und der Seite ist der Punkt .
Berechnen Sie die Länge der Strecke .
Teilergebnis:
Lösung anzeigen
Teilaufgabe c
Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck (pink) mithilfe der Trigonometrie:
Da wir nur eine Seite in diesem Dreieck () kennen, fehlt uns noch ein Winkel oder eine zweite Seite, um die gesuchte Seite berechnen zu können.
Der Winkel (blau in der Abbildung unten):
Der Winkel liegt auch im Dreieck (Abbildung rechts), von dem wir bereits einen zweiten Winkel, den Winkel (grün) kennen.
(rot) mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck :
|
(blau) können wir mit der Innenwinkelsumme im Dreieck berechnen:
Nun können wir endlich die Länge der Strecke berechnen:
Umformung: \cdot4\;\text{cm}
Bemerkung: alternativ können wir auch im rechtwinkligen Dreieck den Wert von mit dem Satz des Pythagoras als berechnen. Dann verwenden wir den Sinussatz und erhalten den Sinus von durch Auflösen von
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe d
Flächeninhalt des Dreiecks :
Begründung des Ansatzes
Nach dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche jedes beliebigen Dreiecks .
(Man benötigt also zwei aneinander liegende Seiten und den dazwischenliegenden Winkel .)
Uns fehlt also die Strecke und der Winkel :
- Winkel :
Betrachten wir die Dreiecke und , sehen wir, dass sie die gleiche Spitze haben, außerdem ist (zentrische Streckung), somit sind sie auch winkeltreu.
wie in Teilaufgabe c) berechnet.
- Strecke mit dem Sinussatz im Dreieck :
Umformung: \cdot\sin\left(56,30°\right)
Nun können wir die Fläche berechnen:
Im Dreieck hat der Winkel das Maß . Der Punkt ist die Spitze der Pyramide mit dem Höhenfußpunkt und der Höhe .
Zeichnen Sie die Pyramide mit der Höhe in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe e
Zeichnung der Pyramide :
- Der Schnittpunkt mit der Seite bildet die Spitze der Pyramide .
- Verbinde nun alle Eckpunkte miteinander.
- Fälle jetzt das Lot von auf die Diagonale auf , der Schnittpunkt ist der Fußpunkt der Höhe der Pyramide.
Länge der Höhe [] der Pyramide im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Uns fehlt in dieser Formel die Seite . Aber: .
Somit brauchen wir auch im Dreieck mit dem Sinussatz:
Umformung: \cdot\sin\left(77°\right)
Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von der Länge der Strecke mit und ;
Lösung anzeigen
Teilaufgabe f
Volumen der Pyramiden mit :
Für die Höhe gehen wir wie oben vor:
Für die Grundfläche mit und :