Gegeben ist die in definierte Funktion . Abb. 1 zeigt den Graphen von , der die -Achse als waagrechte Asymptote besitzt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (2 P)
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Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Zeige, dass ist.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der y-Achse
Es ist
Weise rechnerisch nach, dass symmetrisch bezüglich der y-Achse ist
ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da .
Der Punkt ist einer der beiden Wendepunkte von . Die Tangente an im Punkt wird mit bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von und berechnen Sie die Stelle, an der die x-Achse schneidet. (5 P)
(zur Kontrolle: )
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Teil 1
- Gegeben:
- Berechne , beachte die Kettenregel.
- Berechne .
- Setze in die Tangentengleichung ein: .
Teil 2
- Löse die Gleichung .
Ermittle eine Gleichung von
Gegeben:
Berechne , beachte die Kettenregel:
Für die Gleichung einer Tangente an einen Graphen an der Stelle gilt:
Berechne die Stelle an der die x-Achse schneidet
Löse die Gleichung :
Umformung: :e^{-\frac{1}{2}}
Umformung: -4
An der Stelle wird die x-Achse geschnitten.
Betrachtet wird für jeden Wert das Rechteck mit den Eckpunkten und .
Zeichnen Sie für das Rechteck in Abb. 1 ein. (1 P)
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- Zeichne die Punkte ein.
Zeichne für das Rechteck in Abb. 1 ein
Berechnen Sie denjenigen Wert von , für den gilt. (3 P)
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- Gesucht ist der Wert von , für den ist.
Berechne denjenigen Wert von , für den gilt
Es soll sein.
Gesucht ist also der Wert von , für den ist:
und
Umformung: :2
Löse nach auf.
Umformung: \ln{}
Umformung: \cdot(-8)
Umformung: \sqrt{}
Ziehe die Wurzel.
Wegen entfällt die negative Wurzel.
Für ist .
Hinweis: je nach Rechenweg sind (z. B. wegen )auch andere Darstellungen von möglich:
u. s. w.
Geben Sie in Abhängigkeit von die Seitenlängen des Rechtecks an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term
gegeben ist. (3 P)
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Teil 1
- Bestimme die Länge der Strecke und die Länge der Strecke .
Teil 2
- Multipliziere die beiden im Teil 1 bestimmten Streckenlängen miteinander.
Gib in Abhängigkeit von die Seitenlängen des Rechtecks an
Es ist und .
Begründe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term
gegeben ist
Es ist .
Es gibt einen Wert von , für den der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von . (4 P)
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Maximaler Flächeninhalt
Berechne und setze , beachte die Kettenregel:
Klammere aus und fasse zusammen.
Multipliziere die in die Klammer.
Es ist . Setze nun .
Umformung: :e^{-\frac{1}{8}c^2}
Da für alle größer null ist, darf durch geteilt werden.
Umformung: -c^2
Umformung: \sqrt{}
Wegen entfällt die negative Lösung
Es bleibt zu prüfen, ob ein Maximum vorliegt.
Hier kann entweder berechnet werden, ob ist oder ob es an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von gibt.
Hier wird der zweite Weg beschritten.
Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von an der Stelle von , d. h. der Flächeninhalt ist für maximal.
Betrachtet werden für die in definierten Funktionen
. Somit gilt wobei sich und im Definitionsbereich unterscheiden.
Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von , dass für jeden Wert von umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von (4 P)
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Erste Ableitung von
Berechne die erste Ableitung von . Beachte die Kettenregel.
Für alle ist
Lediglich für ist .
Die singulären Nullstellen der Ableitung verhindern die strenge Monotonie nicht. Die Funktion ist streng monoton steigend und damit für jeden Wert von umkehrbar im Definitionsbereich .
Für die Zeichnung der Umkehrfunktion ist es hilfreich, die Winkelhalbierende einzuzeichnen.
Der Graph von wird dann für an der Winkelhalbierenden gespiegelt.
Man markiert einige Punkte auf dem Graphen von und spiegelt diese dann an der Winkelhalbierenden (und verbindet diese Punkte entsprechend).
Geben Sie alle Werte von an, für die der Graph von und der Graph der Umkehrfunktion von keinen gemeinsamen Punkt haben. (2 P)
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Überlegungen zur Lösung
Die Graphen von verlaufen entweder nur im II. Quadranten (oder im II. und III. Quadranten) oberhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die Umkehrfunktionen verlaufen nur im IV. (oder im III. und IV. Quadranten) unterhalb der 1. Winkelhalbierenden.
Die beiden Funktionen können sich also nicht schneiden, außer sie schneiden die 1. Winkelhalbierende selbst.
Wann schneiden die Graphen die 1. Winkelhalbierende?
Für diesen Schnittpunkt muss sein.
In der Aufgabe war aber gefragt, wann der Graph von und der Graph der Umkehrfunktion von keinen gemeinsamen Punkt haben. Das ist für alle Werte von der Fall.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Zwei ausgewählte Beispiele:
und die Umkehrfunktion schneiden sich nicht.
und die Umkehrfunktion schneiden sich im Punkt .
