Gegeben ist die in definierte Funktion mit
Die Nullstellen von sind und .
Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, den Inhalt hat. (2 P)
Lösung anzeigen
In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen von angegeben, und .
Das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, soll den Inhalt haben. Somit ergibt sich der folgende Ansatz zur Berechnung:
In die Klammer wird für der obere Wert
() eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert () gerechnet.
Berechne die Klammern.
Vereinfache den 2. Term.
Erweitere den Term mit .
Fasse zusammen.
Damit ist gezeigt, dass das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, den Inhalt hat.
Der Hochpunkt des Graphen von liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vergleiche Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von . (3 P)
Lösung anzeigen
Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von .
Berechne :
Bei einem Hochpunkt muss sein:
Umformung: +2x
Löse nach auf.
Umformung: :2
Für hat der Graph von einen Hochpunkt.
Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.
ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt
Das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt . Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:
Setze
Umformung: -\dfrac{4}{3}a^3
Löse nach auf.
Klammere aus.
Du hast die Gleichung erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.
Es ist oder
Da entfällt die Lösung .
Für stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von mit der x-Achsen einschließt, überein.