Gegeben ist die Funktion f: mit maximaler Definitionsmenge und Ableitungsfunktion .
Geben Sie sowie die Nullstelle von an. (2 P)
Lösung anzeigen
Das Argument der -Funktion muss größer 0 sein.
Also muss gelten:
Somit muss sein.
Zur Nullstelle: Die -Funktion hat den Wert 0, wenn das Argument ist.
Also , genau dann, wenn . Damit ist die Nullstelle (nach Umstellen) .
Definitionsmenge
Was im Logarithmus steht, muss immer größer als sein.
bzw.
Die Definitionsmenge ist somit:
Nullstelle
Die ln-Funktion hat eine Nullstelle für :
Setze
Die Funktion hat für eine Nullstelle.
Alternative
Die -Funktion wurde durch den Term "" um drei nach rechts verschoben. Die Nullstelle, die der Graph an der Stelle normalerweise hätte, befindet sich jetzt bei .
Ermitteln Sie diejenige Stelle für die gilt. (3 P)
Lösung anzeigen
Berechne die erste Ableitung der Funktion . Beachte die Kettenregel.
Es soll sein:
Setze .
Umformung: \cdot(x-3)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +6
Umformung: :2
ist in enthalten.
Für hat die erste Ableitung von den Wert .