Der Leuchtturm
Ein Leuchtturm befindet sich im Punkt . Mit deinem Schiff befindest du dich auf dem Kurs .
Runde alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma. Es gibt verschiedene Lösungswege.
Welchen Abstand hat dein Schiff zum Leuchtturm, wenn es sich bei befindet.
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Skizziere ein Koordinatensystem, zusammen mit dem Punkt und die Route des Schiffes.
Berechnung des Abstands an der Stelle .
Grundsätzlich ist eine Skizze des Problems immer hilfreich. Es kann einerseits zu einer graphsichen Lösung führen oder auch den Ansatz zu einer rechnerischen Lösung veranschaulichen.
An der Stelle befindet sich das Schiff im Punkt .
Der Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm ist die Länge der Strecke .
In der Skizze lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck finden, sodass der Abstand mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden kann:
Das Schiff fährt auf besagter Route . Bei welchen Koordinaten hat es den kürzesten Abstand zum Leuchtturm? Gib den Punkt in der Form an.
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Es gibt eine einfache, graphische Lösung und eine aufwändigere, rechnerische Lösung. Für die rechnerische Lösung muss eine Gerade für das Lot modelliert werden.
Graphische Lösung
Die kürzeste Strecke zwischen Schiff und Leuchtturm gibt es dann, wenn die Verbindungslinie senkrecht zur Schiffsroute steht. Man spricht von der Lotgeraden.
Wenn man die Verbindungslinie senkrecht zur Schiffsroute einzeichnet, ergibt sich der Punkt . Dort muss sich das Schiff befinden, damit es den kürzesten Abstand zum Leuchtturm hat.
Modellieren der Lotgeraden
Gesucht ist eine Gerade, die senkrecht zur Schiffsroute ist. Diese muss die Steigung haben. Zudem muss die Gerade durch den Punkt verlaufen.
Der Ansatz für diese Gerade lautet:
Einsetzen von
Umformung: +8
Die Lotgerade ist damit .
x-Koordinate des Schnittpunkts
Die gesuchten Koordinaten sind der Schnittpunkt der beiden Geraden:
Umformung: -16
Umformung: -0,5x
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Umformung: :2,5
y-Koordinate des Schnittpunkts
Die y-Koordinate kann mit beiden Geraden bestimmt werden. Mit der Schiffsroute zum Beispiel:
Der Schnittpunkt ist also .
Gib den kürzesten Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm an.
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Berechne den Abstand zwischen den Punkten (Leuchtturm) und (Schiff).
Kürzester Abstand zwischen Schiff und Leuchtturm
Wie in Teilaufgabe (a) kann der Abstand zwischen den Punkten mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
