Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung
. Sie sind zusammen mit Punkten und für Eckpunkte von Rechtecken . Punkte sind die Mittelpunkte der Strecken und liegen auf der Geraden mit der Gleichung .
Es gilt: senkrecht zu und .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Geraden und sowie die Rechtecke für
und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit : .
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Zeichnung der Geraden g:
:
Nach der allgemeinen Formel einer linearen Funktion:
- Startpunkt ist der y-Achsenabschnitt , in diesem Fall ist , damit ist der Startpunkt (blau).
- Die Steigung: (Wir gehen von unserem Startpunkt aus nach rechts und nach unten (rot)).
- Anschließend verbinden wir Start- und Endpunkt.
Zeichnung der Geraden h: :
- Da wir in dieser Gleichung keine Konstante haben, ist unser Startpunkt (blau).
- Die Steigung: (Wir gehen von unserem Startpunkt aus nach rechts und nach oben (rot)).
- Nun verbinden wir wieder den Start- und Endpunkt miteinander.
Zeichnung der Rechtecke mit :
- Punkt mit
Wir zeichnen den Punkt in das Koordinatensystem ein.
- :
Wir zeichnen folglich eine Senkrechte (blau) durch auf und spiegeln den Punkt an dieser, so erhalten wir Punkt .
- Da Rechtecke -Winkel haben, zeichnen wir zwei Parallelen (blau) durch die Punkte und zur Symmetrieachse (rot).
- : Wir nehmen in den Zirkel und übertragen die Länge auf die Parallelen (grün).
- Anschließend nehmen wir in den Zirkel und ergänzen die Strecke auf den Parallelen (grün), so erhalten wir die Punkte und später auch . Hierbei wurde der Zirkel im Schnittpunkt des Kreises mit den Parallelen eingestochen.
In der Abbildung wurde nur das Vorgehen für gezeigt (aus Gründen der Übersichtlichkeit), gleiches wird für gemacht.
Zeichnung des Rechtecks und :
- Das gleiche Vorgehen wie oben mit :
:
- Parallelen zeichnen zu durch und .
- Die Länge auf die Parallelen mit dem Zirkel abtragen und danach die Länge .
- Eckpunkte miteinander verbinden.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte
Ergebnis:
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Die Koordinaten von in Abhängigkeit der Abszisse x:
Wir kennen die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden:
Der Punkt wird an der Geraden gespiegelt.
Der Spiegelpunkt ist der Punkt mit den Koordinaten .
Wir lesen die Steigung aus der Geradengleichung ab und berechnen den Winkel mit der Formel .
Umformung: \tan^{-1}()
Auflösung nach .
Der Winkel und der Punkt werden in die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden eingesetzt, um die Koordinaten des Spiegelpunktes zu erhalten:
Für , und gilt dann:
Damit haben die Punkte die Koordinaten .
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
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Die Fläche eines Rechtecks ist .
Dabei ist und .
Berechne zunächst den Vektor :
Subtrahiere.
Fasse zusammen.
Der Vektor .
für und
Berechne die Quadrate.
Fasse in der Klammer zusammen.
Multipliziere.
Runde auf Stellen nach dem Komma.
Der Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte lautet:
Im Rechteck liegt der Punkt auf der Geraden mit der Gleichung
Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks .
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Der Punkt liegt auf der Geraden .
Umformung: +x
Löse nach auf.
Umformung: +1
Umformung: :0,4
Für und ist .
Setze in ein.
Fasse zusammen.
Runde auf Stellen nach dem Komma.
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
[Ergebnis: ].
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Der Vektor .
Benötigt wird ein Vektor, der senkrecht auf dem Vektor steht.
Der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor , denn
.
Der Vektor steht senkrecht auf .
Für den Punkt gilt dann die Vektorgleichung:
Fasse zusammen.
Vereinfache
Runde auf Stellen nach dem Komma.
Die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte lauten demnach:
Für das Rechteck gilt: Die y-Koordinate des Punktes ist um größer als die y-Koordinate von .
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes .
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Es gilt für und :
Dabei ist und :
Umformung: +0,6x
Löse nach auf.
Umformung: -0,04
Umformung: :1,04
Runde auf Stellen nach dem Komma.
Die x-Koordinate des Punktes beträgt .