Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zu der Geraden ist.
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Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden
Ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zu einer Geraden , dann gilt:
Hier ist .
Es muss also nachgewiesen werden, dass ist.
Berechne den Funktionsterm :
Ersetze durch .
Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
Fasse zusammen.
Somit ist .
Berechne nun den Funktionsterm
Ersetze durch :
Ersetze durch .
Klammere aus.
Löse die Klammern auf. Verwende für den Term eine binomische Formel.
Fasse zusammen.
Es ist .
Somit folgt, dass ist.
Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden ist also erfüllt.
Der Graph von ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden .
Alternativer Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich der Geraden x=-3
Es ist
Setzt du , dann ist
Ersetze auf der linken Seite durch und auf der rechten Seite durch .
Wenn du nun statt die Variable wieder nennst, dann ist .
Verschiebst du die Funktion um nach links und um nach unten, dann erhältst du die Funktion .
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da sie nur einen geraden Exponenten enthält. Die um nach links und um nach unten verschobene Funktion ist dann achsensymmetrisch zur Geraden .
Anmerkung: Auch mit quadratischer Ergänzung kann gezeigt werden, dass
ist.
Zusätzliche graphische Darstellung
Der Graph kann an der Symmetrieachse gespiegelt werden. Somit ist der Graph von achsensymmetrisch zur Geraden .