Berechnest du eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, so summierst du die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse auf.
Meist wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei binomialverteilten Zufallsgrößen und den zugehörigen Bernoulli-Ketten verwendet, um statt auch Wahrscheinlichkeiten der Form und alle Variationen von zu bestimmen.
Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit ohne besondere Hilfsmittel
Um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Teilereignisse im vorgegebenen Bereich.
bedeutet zum Beispiel, dass die Zufallsgröße die Werte , und annehmen kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ergibt sich also aus:
Aufwändigere kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Während du beim ersten Beispiel die drei Teilwahrscheinlichkeiten vielleicht noch schnell mit der Bernoulli-Formel berechnest, hast du bei eher weniger Spaß, denn du müsstest alle Teilwahrscheinlichkeiten aufsummieren. Oder kurz geschrieben mit dem Summenzeichen: .
Hier helfen dir stochastische Tabellen, wie zum Beispiel das Tafelwerk oder der Geogebra Wahrscheinlichkeitsrechner. Auch manche Taschenrechner können das berechnen, schau in der Bedienungsanleitung nach.
Gedruckte Tabellen (die du meistens in der Schule verwenden musst) haben dabei eine Einschränkung: lediglich Wahrscheinlichkeiten der Form können nachgeschaut werden. Im Tafelwerk ist dies zum Beispiel die rechte Spalte der Tabelle. Alle anderen Fälle musst du umschreiben:
zu bestimmende Wahrscheinlichkeit | in Worten | so muss sie umgeschrieben werden | gefragter Bereich am Zahlenstrahl (orange ist jeweils der gefragte Bereich) |
|---|---|---|---|
höchstens k Treffer | (kann direkt nachgeschaut werden) |  | |
weniger als k Treffer |
(einen Wert davor nachschauen) |  | |
mindestens k Treffer | (Gegenereignis betrachten) |  | |
mehr als k Treffer | (Gegenereignis betrachten) |  | |
mehr als aber höchstens Treffer | (Bereich bis zu muss wieder weggenommen werden |  | |
Alle anderen Fälle mit und | (Kombination aus den obigen) | Auf zurückführen | (analog zum oberen Bild mit anderen Grenzen) |
Berechnung mit dem Taschenrechner
Die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit, gerade bei der Binomialverteilung, ist von Hand sehr mühsam. Die meisten Taschenrechner oder Online-Rechner haben eine Funktion BinomialCDF oder PoissonCDF etc. Wo diese zu finden ist, steht in der Betriebsanleitung. Damit lassen sich kumulierte Wahrscheinlichkeiten von der Form in einem Schritt berechnen.
Die Verteilungsfunktion
Im Hintergrund steckt die sogenannte Verteilungsfunktion. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie z.B. die Binomialverteilung, besitzt eine Verteilungsfunktion, die die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einer Stelle darstellt. Der Taschenrechner gibt mit dem Befehl BinomialCDF einfach nur den Wert dieser Verteilungsfunktion aus.
