Gegeben sind die Punkte , und .
Zeige, dass die drei Punkte , , und nicht auf einer Geraden liegen.
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Erstelle die Geradengleichung durch die Punkte und und prüfe, ob der Punkt auf dieser Geraden liegt.
Geradengleichung durch die Punkte und :
Setze für den Vektor ein.
Umformung: -\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}
Löse nach auf.
Fasse die linke Seite zusammen.
Die erste Zeile der Vektorgleichung lautet:
Diese Gleichung ist für kein r erfüllbar, d.h. das obige Gleichungssystem hat keine Lösung. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden .
Antwort: Da nicht auf der Geraden liegt, liegen die drei Punkte , , und nicht auf einer Geraden.
Alternative Lösung
Wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, dann bilden sie ein Dreieck.
Wird die Dreiecksfläche berechnet, dann können zwei Fälle eintreten:
- die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden
- die drei Punkte liegen auf einer Geraden
Die Dreiecksfläche wird mit der Formel berechnet.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann:
Die Dreiecksfläche ist , d.h. es ist der Fall eingetreten.
Die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden.
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die durch die Punkte , , und verläuft.
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Ebenengleichung durch die Punkte , und :
Der Vektor wurde in Aufgabe a) berechnet:
Berechne nun den Vektor :
Setze alle Vektoren in die Ebenengleichung ein:
Das ist die gesuchte Parameterform der Ebene .
Wandle die Parameterform der Ebene in eine Koordinatenform um.
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Um eine Ebene von der Parameterform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:
- Parameterform in Normalenform
- Normalenform in Koordinatenform
Schritt 1: Umwandlung in die Normalenform
Berechne den Normalenvektor als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:
Der Normalenvektor kann noch um den Faktor verkürzt werden.
Setze in die Normalenform ein:
Setze die Vektoren und ein.
Schritt 2: Umwandlung in die Koordinatenform
Berechne das Skalarprodukt:
Antwort: Die Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet:
Bestimme die Gleichung einer Geraden , die die Ebene senkrecht schneidet (Lotgerade).
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Ein Punkt der Ebene ist der Punkt . Ein zur Ebene senkrechter Vektor ist der Normalenvektor .
Verwende für die Geradengleichung den Punkt als Aufpunkt und den Vektor als Richtungsvektor.
Antwort: Die Gleichung einer Geraden , die die Ebene senkrecht schneidet, lautet: