Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen
und den gleichen Abstand hat.
Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.
Lösung anzeigen
Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:
Für den Abstand eines Punktes von einer Ebene gilt allgemein:
Setzt du den Koordinatenursprung in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand .
Rechnerischer Nachweis:
Für die Ebene folgt:
Setze ein.
Vereinfache.
Kürze und berechne den Betrag.
Für die Ebene folgt:
Setze ein.
Vereinfache.
Kürze und berechne den Betrag.
Beide Ebenen haben den Abstand vom Koordinatenursprung. Also ist so ein gesuchter Punkt.
Alternative Lösung:
Setze
Umformung: \cdot33
Beseitige die Nenner durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
Kürze und vereinfache.
Umformung: +18x_1+27x_2+6x_3+66
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast die Gleichung erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.
Z.B. der Punkt erfüllt die gefundene Gleichung:
Setze ein.
Setzt du in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand .
Also ist auch so ein gesuchter Punkt.
Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.
Graphische Darstellung mithilfe des Applets
Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.