Gegeben ist die Funktion (eine Gaußsche Glockenkurve). Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.
Lösung anzeigen
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
(Ableitung nach der Kettenregel)
(Ableitung nach Produktregel)
Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird. wird niemals null, da nicht null ist. Also brauchst du nur untersuchen:
Damit erhält man und
Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:
Also ist eine Wendestelle.
Also ist eine Wendestelle.
Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:
und
.
Die gesuchten Wendepunkte sind also: und