Löse die Wurzelgleichung
Lösung anzeigen
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +8
Löse nach auf.
Umformung: \sqrt{}
Der Radikand ist größer oder gleich null, wenn und/oder ist.
Damit ergibt sich der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel und auch für die Wurzelgleichung
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: +8
Löse nach auf.
Umformung: \sqrt{}
Ziehe die Wurzel.
Du hast als mögliche Lösung und/oder erhalten.
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung. Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung .
Setze dafür und und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
.
Die -Werte (die Abszissen) der beiden Schnittpunkte und der beiden Graphen liefern dann die Lösungen der Wurzelgleichung. Es ist und
