Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Wurzelgleichung .
Lösung anzeigen
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +2
Löse nach auf.
Umformung: :2
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Hier gilt:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die beiden Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die zwei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
Umformung: -x
Löse nach x auf.
Umformung: +2
Du hast als mögliche Lösung erhalten.
Die Lösung liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
4. Lösungsmenge angeben
Zusätzliche graphische Lösung
Setze und und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung.
Es ist
