Gegeben sind die beiden Funktionen und .
Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.
Lösung anzeigen
Für die Schnittpunktberechnung setze . Du erhältst eine Wurzelgleichung .
1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln
ist für nicht definiert, d.h. für .
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel:
ist für nicht definiert, d.h. für .
Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann:
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: -2x-4
Löse nach auf.
Umformung: +12
Umformung: :2
liegt im Definitionsbereich der Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Mit der Probe für hast du gleichzeitig den -Wert des Schnittpunkts berechnet:
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt .
Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.
Lösung anzeigen
Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:
mit
Beispielsweise ist
Setzt man hingegen in ein, so ergibt sich . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x):
nicht definiert | ||
nicht definiert | ||
nicht definiert | ||
nicht definiert | ||
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Graphische Darstellung
