In einem Dorf mit Einwohnern breitet sich eine Grippewelle aus. Die Grippewelle soll auf das Dorf beschränkt bleiben. Anfangs waren nur Personen infiziert. Nach einer Woche waren schon Personen an Grippe erkrankt.
Wie lautet die logistische Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten?
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Gegeben sind (Anfangswert der an Grippe Erkrankten) und die Schranke . Diese Werte werden in die Gleichung für die logistische Funktion eingesetzt:
Setze und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Bisher gilt:
Die unbekannte Wachstumskonstante kann über die Aussage, dass nach Woche Personen an Grippe erkrankt sind, berechnet werden.
Setze :
Setze und ein.
Umformung: \cdot(1+39\cdot e^{-800\cdot k\cdot 1})
Löse nach auf.
Umformung: :140
Kürze.
Umformung: -1
Fasse zusammen.
Umformung: :39
Kürze und fasse zusammen.
Umformung: \ln
Löse die e-Funktion auf.
Umformung: :(-800)
Somit folgt:
Antwort: Die Wachstumsfunktion für die Zahl der an Grippe Erkrankten lautet:
Wie sieht der zugehörige Graph aus?
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Für die Zeichnung des Graphen ist es sinnvoll, einige Funktionswerte zu berechnen:
t (in Wochen) | B(t): Anzahl Infizierte (gerundete Werte) |
|---|---|
Graphische Darstellung der logistischen Wachstumsfunktion "Zahl der an Grippe Erkrankten"
