Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und liegt.
Lösung anzeigen
Setze die Funktion gleich 0.
Man löst die Klammer auf.
Umformung: -t;\;\cdot9
ausklammern.
für alle Sonderfall: konstant ohne Nullstelle.
Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert.
Dieser ist positiv, wenn oder ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.
Falls ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.
Eine Fläche wird also nur im Fall oder eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.
Nun wird die gesuchte Fläche mittels Integration bestimmt.
In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
Klammere aus.
Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
Fasse die Bruchterme zusammen.
Vereinfache.
Klammere aus.
Kürze.
Die eingeschlossene Fläche beträgt
Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls .
Anschaulich schließen und die x-Achse für keine Fläche ein.
Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.
Eine Fläche wird nur im Fall oder eingeschlossen.
Zum Beispiel erhält man für die Funktion
Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:
Für erhält man die Funktion
Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:
Berechne den Bruch.
Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
