Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen, und einnehmen.
Lösung anzeigen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte die Normalenvektoren der drei Ebenen:
, und
Die drei Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander.
Die drei Ebenen sind nicht parallel zueinander, d.h. die Ebenen schneiden sich.
Haben die drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Das lineare Gleichungssystem wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst:
Die letzte Zeile besagt, dass das LGS keine Lösung hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen und die drei Ebenen schneiden sich auch nicht in einer gemeinsamen Geraden. Vielmehr gibt es drei Schnittgeraden, die nachfolgend berechnet werden.
Berechnung der Schnittgeraden
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -3\cdot x_2-1\cdot x_3
Löse nach auf.
Setze und ein
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: +2\cdot x_2+4\cdot x_3
Löse nach auf.
Setze und ein.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -2\cdot x_2
Setze ein.
Fasse zusammen
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung: