Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen
, und einnehmen.
Lösung anzeigen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Dazu wird zuerst die Ebene in die Koordinatenform umgewandelt.
Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene
und setze in die Normalenform ein:
Setze und ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene lautet:
Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:
, und
Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.
Berechnung der Schnittgeraden
Erste Schnittgerade
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -3\cdot x_1-4\cdot x_2
Setze und ein.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Zweite Schnittgerade
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -4\cdot x_1+2\cdot x_2
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Dritte Schnittgerade
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -4\cdot x_1+2\cdot x_2
Setze und ein
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?
Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:
Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die Spalte zur Spalte.
Dann folgt aus der letzten Zeile:
In der letzten Matrix lautet die Zeile:
Umformung: -3\cdot x_2
Löse nach auf.
Setze ein.
In der letzten Matrix lautet die Zeile:
Umformung: -2\cdot x_1-1\cdot x_2
Löse nach auf.
Setze und ein.
Erweitere auf den Nenner .
Fasse zusammen.
Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:
Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt .
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Anmerkung: Wenn man die Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.