Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen , und einnehmen.
Lösung anzeigen
Untersuchung auf Parallelität oder Identität
Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:
, und
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.
, und
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
Der Normalenvektor der Ebene ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren und darstellbar: .
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
Schnittgeraden
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -1\cdot x_1-1\cdot x_2
Löse nach auf.
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Berechnung der beiden anderen Schnittgeraden
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -2x_1
Löse nach auf.
Setze ein ( kann nicht eingesetzt werden).
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Umformung: -2x_1
Löse nach auf.
Setze ein ( kann nicht eingesetzt werden).
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat folgende Gleichung:
Die drei Schnittgeraden , und sind identisch.
Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung:
Zusätzliche graphische Darstellung
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
