Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Der Betreiber eines Freizeitparks befragt eine große Anzahl seiner Besucher. Dabei interessiert ihn, ob diese aus der Region (R) kommen, ob es sich entweder um Tageskarteninhaber (T) oder Dauerkarteninhaber (D) handelt und ob sie mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot (Z), wie z. B. das 4D-Kino, in Anspruch nehmen.
Bei 80 % der Befragten handelt es sich um Besucher, die nicht aus der Region stammen. Drei Viertel der Befragten aus der Region besitzen eine Dauerkarte. Nicht aus der Region stammende Befragte betreten den Park zu 90 % mit einer Tageskarte. Unabhängig davon, ob Befragte mit Tageskarte aus der Region kommen oder nicht, nehmen sie zu 60 % mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot in Anspruch. Unter den Befragten mit Dauerkarte aus der Region nutzen nur 10 % mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot. Der Anteil der Befragten, die nicht aus der Region kommen, eine Dauerkarte kaufen und mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot nutzen, beträgt 4%.
Das Ergebnis der Befragung eines zufällig ausgewählten Besuchers wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit aller acht Elementarereignisse. [Teilergebnis: ] (6 BE)
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Bereite zunächst einmal das leere Baumdiagramm vor. Die Form erfährst du aus dem Text oder aus dem Teilergebnis. Auf der ersten Stufe wird nach Region und nicht aus der Region unterschieden ( und ), auf der zweiten Stufe nach Tageskarte und Dauerkarte(und ) und auf der dritten nach beanspruchtem Zusatzangebot oder nicht ( und ).
Unten siehst du das fertige Baumdiagramm. Woher die Zahlen kommen, kannst du in der zu der grauen Zahl gehörenden Anmerkung unter dem Bild nachlesen.
- Aus Text: „...80 % der Befragten [...] nicht aus der Region...“
- Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgeht, ist immer 1 bzw 100%
- Aus Text: „Drei Viertel der Befragten aus der Region besitzen eine Dauerkarte“
- Aus Text: „Nicht aus der Region stammende Befragte [...] zu 90% Tageskarte...“
- Aus Text: "Unabhängig davon, ob Befragte mit Tageskarte aus der Region kommen oder nicht, nehmen sie zu 60 % [...] kostenpflichtiges Zusatzangebot [...]" Wahrscheinlichkeit bei beiden Knoten zu Knoten
- Aus Text: "Befragten mit Dauerkarte aus der Region nutzen nur 10 % [...] Zusatzangebot..."
- Aus Text: "Der Anteil der Befragten, die nicht aus der Region kommen, eine Dauerkarte kaufen und mindestens ein kostenpflichtiges Zusatzangebot nutzen, beträgt 4%." Es handelt sich nicht um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also keine Wahrscheinlichkeit entlang des Pfades, sondern die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses
- Mithilfe der Pfadregeln kann eine Gleichung aufgestellt und gelöst werden (siehe unten)
- Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse berechnet werden (siehe unten)
Zu 8.:
Die 1. Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ermittelt werden kann.
Setze die Wahrscheinlichkeit aus der Angabe ein
Umformung: :0,8\ :0,1
zu 9.:
Multipliziere jeweils die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades (1. Pfadregel), z.B:
Gegeben sind die folgenden Ereignisse:
Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt aus der Region oder besitzt eine Tageskarte."
- Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und untersuchen Sie und auf stochastische Unabhängigkeit.
- Fassen Sie im Sachzusammenhang möglichst einfach in Worte. (7 BE)
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1 Mengenschreibweise und stochastische Unabhängigkeit
In den günstigen Tupeln muss entweder R oder T oder beides enthalten sein:
Um zu zeigen, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, überprüft man die Gültigkeit folgender Formel:
Bestimme also zunächst die einzelnen Mengen und Wahrscheinlichkeiten. Addiere dazu die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse aus der vorherigen Aufgabe zusammen (2. Pfadregel).
Um zu bestimmen, notiere dir erstmal die Schnittmenge in aufzählender Mengenschreibweise:
Setze nun alle Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein:
Einsetzen von oben
Prüfe durch Berechnung
Die Ereignisse und sind also stochastisch abhängig.
im Sachzusammenhang
Vereinfache zuerst die angegebene Menge mithilfe der de Morganschen Regel:
Beschreibe nun jeweils und in Worten:
: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region und hat eine Dauerkarte."
(zunächst in Worten, da du dort bisher nur die Menge kennst: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt ein Zusatzangebot.")
: "Ein zufällig ausgewählter Besucher nutzt kein Zusatzangebot."
Nun kannst du dir die Schnittmenge dieser beiden Ereignisse anschauen:
: "Ein zufällig ausgewählter Besucher kommt nicht aus der Region, besitzt eine Dauerkarte und nutzt kein Zusatzangebot."