Das Lotfußpunktverfahren ist ein Verfahren in der analytischen Geometrie zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden .
Ebenso kann der Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnet werden.
Das Verfahren wird verwendet, wenn neben dem kürzesten Abstand des Punktes auch der sogenannte Lotfußpunkt gesucht ist.
Was ist ein Lot, der Lotfußpunkt und die Lotstrecke?
Lot
Das Lot ist eine Strecke oder eine Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht.
Lotfußpunkt
Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden bzw. mit der Ebene wird Lotfußpunkt (oder auch ) genannt.
Lotstrecke
Die Länge der Strecke vom Punkt zum Lotfußpunkt ist die kürzeste Entfernung zwischen den beiden Punkten und , d.h. es ist der Abstand der beiden Punkte.
Im Zweidimensionalen
Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g
Gegeben sind der Punkt und die Gerade
Berechne den Lotfußpunkt und den Abstand des Punktes zur Geraden .
Lösung:
1. Lotgerade
Man erstellt die Gleichung einer Geraden (Lotgerade) in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden ist und durch den Punkt verläuft.
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Lotgeraden .
Setze den Punkt und den Richtungsvektor ein.
2. Schnittpunktsberechnung
Setze in ein:
Setze für die Geradengleichung mit ein.
Berechne die Vektordifferenz in der ersten Klammer.
Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus und den Summanden in der Klammer bildest.
Berechne die Skalarprodukte.
Umformung: +4
Löse nach auf.
Umformung: :5
Setze in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen.
Setze ein.
Multipliziere auf der rechten Seite aus.
Fasse zusammen.
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
Berechne den Vektor .
Der gesuchte Abstand ist dann:
Der Punkt hat von der Geraden etwa den Abstand .
Zusätzliche graphische Darstellung
Im Dreidimensionalen
Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g
Vorgehensweise anhand eines Beispiels
Gegeben sind der Punkt und die Gerade .
Berechne den Lotfußpunkt und den Abstand des Punktes zur Geraden .
Lösung:
1. Lotebene
Man erstellt die Gleichung einer Lotebene in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden ist und durch den Punkt verläuft.
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Lotebene .
Setze den Punkt und den Richtungsvektor ein.
2. Schnittpunktsberechnung
Setze in ein:
Setze für die Geradengleichung mit ein.
Berechne die Vektordifferenz in der ersten Klammer.
Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus und den Summanden in der Klammer bildest.
Berechne die Skalarprodukte.
Fasse zusammen.
Umformung: +12
Löse nach auf.
Umformung: :9
Kürze.
Setze in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen.
Setze ein.
Fasse zusammen.
Vereinfache.
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
Berechne den Vektor .
Der gesuchte Abstand ist dann:
Berechne die Quadrate.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel
Kürze.
Der Punkt hat von der Geraden etwa den Abstand .
Zusätzliche graphische Darstellung
Lotfußpunkt F und Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E
Vorgehensweise anhand eines Beispiels
Gegeben sind der Punkt und die Ebene .
Berechne den Lotfußpunkt und den Abstand des Punktes zur Ebene .
Falls die Ebene in einer anderen Form vorliegt, sollte zuerst die Umformung in die Normalenform erfolgen.
Lösung:
1. Lotgerade
Man erstellt die Gleichung einer Geraden (Lotgerade) in Parameterform, die senkrecht (orthogonal) zur Ebene ist und durch den Punkt verläuft.
Dabei ist der Punkt der Aufpunkt der Lotgeraden . Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden .
Setze den Punkt und den Vektor ein.
2. Schnittpunktsberechnung
Der Schnittpunkt (Lotfußpunkt) zwischen der Geraden und der Ebene wird berechnet. Setze in ein und löse nach auf.
Setze für die Geradengleichung mit ein.
Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus und den Summanden in der Klammer bildest.
Berechne die Skalarprodukte.
Fasse zusammen.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :2
Setze in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen.
Setze ein.
Fasse zusammen.
Vereinfache.
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
Berechne den Vektor :
Es ist
Der gesuchte Abstand ist dann:
Berechne die Quadrate.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel
Der Punkt hat von der Ebene etwa den Abstand .
Zusätzliche graphische Darstellung
