Als Spurgeraden einer Ebene bezeichnet man die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen.
Anzahl der Spurgeraden
- 2 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer der drei Koordinatenebenen; die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander Ebene liegt in einer Koordinatenebene, die beiden Spurgeraden stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Ursprung
- 3 Spurgeraden: Ebene ist parallel zu einer Koordinatenachse. Dann sind zwei Spurgeraden parallel zueinander und parallel zu dieser Achse. Die dritte Spurgerade steht senkrecht auf den beiden parallelen Spurgeraden. Ebene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel
Sonderfall
- 3 Spurgeraden: Ebene verläuft durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene oder Koordinatenachse; die drei Spurgeraden schneiden sich im Ursprung
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Die Ebene enthält die -Achse und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene zwei Spurgeraden, ist die -Achse und verläuft durch den Ursprung in der -Ebene.
Die Ebene verläuft parallel zur -Ebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene zwei Spurgeraden und , die sich im Spurpunkt senkrecht schneiden.
Die Ebene liegt in der -Ebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene zwei Spurgeraden, die senkrecht aufeinander stehen und sich im Ursprung schneiden.
Die Ebene verläuft parallel zur -Achse.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene drei Spurgeraden. Davon sind zwei Spurgeraden und parallel zueinander und parallel zu dieser Achse. Die dritte Spurgerade steht senkrecht auf den beiden parallelen Spurgeraden.
Die Ebene geht durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene oder Koordinatenachse.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene drei Spurgeraden, die sich im Ursprung schneiden.
Wie werden die Spurgeraden berechnet?
Die Ebene kann in verschiedenen Formen vorliegen.
Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.
Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.
Spurgerade in der -Ebene
Für die Spurgerade in der -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte und .
Schnittpunkt mit | Benennung | Berechnung |
|---|---|---|
der -Achse | setze berechne | |
der -Achse | setze berechne |
Mit den beiden berechneten Punkten und erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene .
Die Gleichungen der Spurgeraden mit der -Ebene und mit der -Ebene erhält man analog.
Beispiel für die Bestimmung der Spurgeraden
Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform .
Berechne mögliche Spurgeraden.
Spurgerade in der -Ebene
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene mit der -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte und .
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze in ein.
Umformung: :3
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze in ein.
Umformung: :2
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Mit den beiden Punkten und erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene:
Setze und ein.
Die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene lautet:
Die Spurgeraden der Ebene mit der -Ebene und mit der -Ebene erhält man analog.
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Spurgerade in der -Ebene
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene mit der -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte und .
wurde schon berechnet. Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze in ein.
Umformung: :4
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Mit den beiden Punkten und erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene:
Setze und ein:
Die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene lautet:
Spurgerade in der -Ebene
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene mit der -Ebene benötigt man die beiden Spurpunkte und , die beide schon berechnet wurden. Der Spurpunkt hat die Koordinaten und hat die Koordinaten .
Mit den beiden Punkten und erstellt man die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene:
Setze und ein:
Die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene lautet:
Graphische Darstellung
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Man kann die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln und verfährt, wie oben beschrieben wurde. Andererseits kann auch mit der Parameterform die Gleichung der Spurgeraden ermittelt werden.
Gegeben ist die Ebene in Parameterform:
Berechne mögliche Spurgeraden.
Für die Spurgerade (Schnittgerade) der Ebene mit der -Ebene setzt man , da die -Ebene die Gleichung hat.
Setze .
Umformung: -3 s
Löse z.B. nach auf.
Setze in die Ebenengleichung ein, um die Gleichung der Spurgeraden zu erhalten.
Setze ein.
Fasse zusammen.
Die Gleichung der Spurgeraden in der -Ebene lautet:
Die Spurgeraden der Ebene mit der -Ebene und mit der -Ebene erhält man analog.
Anmerkung: Die hier berechnete Spurgeradengleichung ist identisch mit der im oberen Abschnitt gefundenen Gleichung, da die beiden Ebenen und identisch sind.
Spurdreieck
Das Spurdreieck ist ein Dreieck, das von den drei Spurgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen begrenzt wird. Die Dreiecksecken liegen auf den Koordinatenachsen und sind die Spurpunkte der Ebene.
