Als Spurpunkte einer Ebene bezeichnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems.
Mithilfe der Spurpunkte kann eine Ebene im Koordinatensystem gezeichnet werden.
Anzahl der Spurpunkte
- SpurpunktEbene ist echt parallel zu einer Koordinatenebene
- SpurpunkteEbene ist echt parallel zu einer Koordinatenachse und nicht parallel zu einer Koordinatenebene
- SpurpunkteEbene ist weder zu einer Koordinatenebene noch zu einer Koordinatenachse parallel
Sonderfälle:
- Ebene geht durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene Spurpunkt im Koordinatenursprung
- Ebene enthält eine Koordinatenachse unendlich viele Spurpunkte
- Ebene liegt in einer Koordinatenebene unendlich viele Spurpunkte
Graphische Veranschaulichung einiger spezieller Ebenenlagen
Die Ebene verläuft parallel zur -Achse.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene zwei Spurpunkte in der -Ebene und .
Die Ebene verläuft parallel zur -Ebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene einen Spurpunkt auf der -Achse .
Die Ebene liegt in der -Ebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene unendlich viele Spurpunkte.
Die Ebene enthält die -Achse und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene unendlich viele Spurpunkte.
Die Ebene geht durch den Koordinatenursprung und ist nicht parallel zu einer Koordinatenebene oder Koordinatenachse.
Z.B. die Ebene mit der Gleichung:
Dann hat die Ebene einen Spurpunkt .
Wie werden die Spurpunkte berechnet?
Die Ebene kann in verschiedenen Formen vorliegen.
Man geht davon aus, dass sie in Koordinatenform vorliegt.
Anmerkung: Liegt die Ebene in Parameterform vor, ist es sinnvoll, diese Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Möchte man die Parameterform nicht umwandeln, befindet sich die "Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform" zum Ausklappen im Artikel weiter unten.
Schnittpunkt mit | Benennung | Berechnung |
|---|---|---|
der -Achse | setze berechne | |
der -Achse | setze berechne | |
der -Achse | setze berechne |
Beispiel für die Berechnung der Spurpunkte
Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform.
Berechne ihre möglichen Spurpunkte (Achsenschnittpunkte).
Berechnung des Spurpunktes
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze ein.
Umformung: :2
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung der anderen beiden Spurpunkte
Berechnung des Spurpunktes
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze ein.
Umformung: :(-4)
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung des Spurpunktes
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze ein.
Umformung: :3
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung der Spurpunkte mithilfe der Achsenabschnittsform
Gegeben ist die Ebene .
Erstelle ihre Achsenabschnittsform und lies die Achsenabschnitte ab. Gib auch die Spurpunkte an.
Erstellung der Achsenabschnittsform
Für die Erstellung der Achsenabschnittsform wird die Ebenengleichung normiert, indem man beide Seiten der Gleichung durch 6 dividiert und kürzt. Man erhält eine äquivalente Gleichung, in der die Nenner die entsprechenden Achsenabschnitte direkt angeben.
Umformung: :6
Kürze.
Die Ebene besitzt die Achsenabschnitte , und .
Die dazugehörenden Spurpunkte sind , und .
Graphische Darstellung
Allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung der Spurpunkte
Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform.
Bestimme die möglichen Spurpunkte von .
Berechnung des Spurpunktes
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet :
Setze ein.
Umformung: :a
Eine Lösung ergibt sich nur für , andernfalls ist die Ebene parallel zur -Achse oder die Ebene enthält die -Achse.
Die Ebene schneidet die -Achse im Punkt
Für die anderen beiden Spurpunkte und geht man analog vor.
Vorgehensweise für eine Ebene in Parameterform
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform:
. Bestimme die möglichen Spurpunkte von .
Berechnung des Spurpunktes
Für den Spurpunkt (Schnittpunkt mit der -Achse) setzt man und gleich null und berechnet und .
Setze die und Gleichung gleich null:
Gleichung
Setze in Gleichung ein:
Setze ein.
Fasse zusammen.
Umformung: :(-2)
Löse nach auf.
Setze und in die Ebenengleichung ein:
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Der Spurpunkt hat die Koordinaten .
Für die Berechnung der anderen beiden Spurpunkte und geht man analog vor.
Man erhält die Spurpunkte und .