Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Innern begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken , und mit , , und besteht. (vgl. Abbildung ). , , und sind die Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Begründen Sie, dass die Punkte und symmetrisch bezüglich der -Achse liegen. (2 P)
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Sowohl die -Koordinaten als auch die -Koordinaten der beiden Punkte und unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen. Die -Koordinaten stimmen überein. Daher liegen die beiden Punkte und symmetrisch bezüglich der -Achse.
Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 P)
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Der Streckenzug setzt sich aus den Längen der drei Vektoren , und zusammen. Man berechnet die Vektoren und ihre Beträge.
Aus Abbildung ist zu erkennen, dass der Betrag des Vektors gleich dem Betrag des Vektors ist. (Der Vektor muss nicht extra berechnet werden.)
Der Streckenzug setzt sich aus den Längen zusammen. Er hat etwa die Länge .
Die Ebene enthält die Punkte , und , die Ebene die Punkte , und .
Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. (4 P)
(zur Kontrolle: )
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Allgemeine Parameterform einer Ebene lautet:
Die Vektoren und sind schon bekannt (Aufgabe )). Der Vektor muss noch berechnet werden.
Setzt man die drei Vektoren in die Ebenengleichung ein, folgt:
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene ergibt den Normalenvektor der Ebene.
Berechne das Kreuzprodukt.
Vereinfache.
Mit dem verkürzten Normalenvektor kann die Normalenform der Ebene erstellt werden.
Setze den Vektor und den Vektor in die Ebenengleichung ein.
Multipliziere das Skalarprodukt aus.
Vereinfache.
Die Ebene , die die Punkte , und enthält, hat die Gleichung:
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die -Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus die Größe des Winkels zwischen den Ebenen und berechnet werden kann. (5 P)
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Winkel, unter dem die -Ebene schneidet
Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt:
Dabei sind und die Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Die Ebene hat den Normalenvektor und .
Die -Ebene hat den Normalenvektor und .
Setze die Werte für die Vektoren und ihre Beträge ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Man hat die Gleichung erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kann der Winkel berechnet werden. (Man benutzt auf dem Taschenrechner die Funktion .)
Der Schnittwinkel , unter dem die -Ebene schneidet, beträgt rund .
Winkel zwischen den Ebenen und
Eingezeichnet sind die beiden Ebenen () und (). Der Schnittwinkel, unter dem die -Ebene schneidet, ist der Winkel . Aus Symmetriegründen schneidet die Ebene die -Ebene unter dem gleichen Winkel .
Im obigen Bild sind die beiden Ebenen und noch einmal in anderer Ansicht gezeichnet. Man kann nun eine einfache Gleichung für den Winkel zwischen den Ebenen und aufstellen:
(nur Angabe eines Terms)
Die Ebene teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 P)
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Der pyramidenförmige Teilkörper ist eine dreiseitige Pyramide.
Für das Pyramidenvolumen gilt:
Die Grundfläche der Pyramide ist die Hälfte der Grundfläche des Quaders:
.
Quader und Pyramide haben die gleiche Höhe . Das Volumen des Quaders ist .
Damit beträgt das gesuchte Verhältnis .
Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen und stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.
Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen und einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 P)
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Blickt man in Richtung der -Achse, so erscheint das Saarpolygon entsprechend der Abbildung . Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor oder auch .
Für die Abbildung muss man in Richtung einer Winkelhalbierenden der -Ebene blicken. Ein möglicher Vektor für diese Blickrichtung ist der Vektor oder auch .
Blickt man von oben auf das Saarpolygon, so erhält man die untere Abbildung.
Oder auch in gedrehter Ansicht.
Der Punkt liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken , und den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von :
Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von zugrunde liegen. (4 P)
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Mit Gleichung wird ein Punkt festgelegt, der auf der Strecke [AB] liegt (wegen ).
Der Punkt ist ein Punkt auf der -Achse. Der Vektor soll senkrecht auf der Strecke stehen (für den kürzesten Abstand der Punkte und ). Das ist dann der Fall, wenn Gleichung erfüllt ist.
Die Länge von ist der Abstand des Punktes von . Andererseits soll nach Aufgabenstellung der Punkt auch den gleichen Abstand zur Strecke haben.
Für die Punkte und ist . Die -Koordinate vom Punkt ist . Der Abstand von zur Strecke ist dann gleich , wie es Gleichung beschreibt.
Skizze zu Aufgabe ) (in der Aufgabenstellung nicht gefordert).
