Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen und :
- Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von bis durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. gibt die dabei erzielte Augensumme an.
- Aus einem Behälter mit schwarzen und weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmt. (2P)
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Wird ein Würfel zweimal geworfen, dann gibt es für die Augensumme insgesamt mögliche Elementarereignisse: , und
Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit
Da es Elementarereignisse gibt, folgt:
Für die Augensumme gibt es auch mögliche Elementarereignisse: , und
Jedes Elementarereignis hat die Wahrscheinlichkeit
Da es Elementarereignisse gibt, folgt:
Also gilt:
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Gegenüberliegende Seite des Würfels haben immer als Augensumme. Zu den Elementarereignissen und von oben liegenden Augen mit der Summe gehören die Elementarereigenisse , und , wo diese Augen mit der Summe unten liegen.
Daher sind die Wahrscheinlichkeiten gleich.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme und dargestellt. Ordnen Sie X und Y jeweils dem passenden Diagramm zu und begründen Sie Ihre Zuordnung. (3P)
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In Aufgabe a) wurde nachgewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmt. Betrachtet man die drei Verteilungen, dann kommen für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße nur die Diagramme und infrage, da hier jeweils ist. Beim Diagramm ist .
Vergleich der Diagramme und
(es gibt nur ein Elementarereignis )
Vergleicht man nun die Höhe der Balken im Diagramm , dann ist , während für das Diagramm gilt, .
Das Diagramm gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße .
Bei der Zufallsgröße Y ist die Anzahl der schwarzen Kugeln größer als die Anzahl der weißen Kugeln. Es handelt sich hier nicht um eine symmetrische Verteilung.
Dazu passt das Diagramm , das nicht symmetrisch ist.
Das Diagramm gehört zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße .
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Es gilt:
Die Verteilung ist nicht symmetrisch.
Vergleiche z.B. mit :
und
Zwar ist aber .
Damit ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße nicht symmetrisch.