Betrachtet werden die in definierten Funktionen und , wobei eine Stammfunktion von ist. Abbildung zeigt den Graphen von .
Bestimmen Sie den Wert des Integrals . (2P)
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Allgemein gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: .
Nach Aufgabenstellung muss folgendes Integral berechnet werden:
Die Werte und können aus der Abbildung abgelesen werden:
und
Eingesetzt folgt:
Das Integral hat den Wert .
Bestimmen Sie den Funktionswert von an der Stelle ; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung . (3P)
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In der Abbildung ist der Graph der Stammfunktion gezeichnet.
Allgemein gilt:
Wenn der Funktionswert von an der Stelle bestimmt werden soll, muss der Wert von an der Stelle bestimmt werden, denn es gilt .
Gesucht ist also die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt .
(zur Stelle des Graphen gehört )
Im Punkt ist die Tangente an den Graphen von gezeichnet:
( Gerade)
Zur Bestimmung der Geradensteigung wurde ein Steigungsdreieck eingezeichnet. Die Steigung der Tangente kann nun berechnet werden:
Der Funktionswert von an der Stelle hat der Wert 4.